已知直线L:y=x+1与曲线C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)交于不同的两点A,B,O为坐标原点.(1)若OA的绝对值=OB的绝对值,求证:曲线C是一个圆(2)若OA垂直OB,当a>b且a∈[(√6)/2,(√10)/2]时,求曲线C的
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 20:03:40
![已知直线L:y=x+1与曲线C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)交于不同的两点A,B,O为坐标原点.(1)若OA的绝对值=OB的绝对值,求证:曲线C是一个圆(2)若OA垂直OB,当a>b且a∈[(√6)/2,(√10)/2]时,求曲线C的](/uploads/image/z/10006159-31-9.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E7%9B%B4%E7%BA%BFL%EF%BC%9Ay%3Dx%2B1%E4%B8%8E%E6%9B%B2%E7%BA%BFC%EF%BC%9Ax%5E2%2Fa%5E2%2By%5E2%2Fb%5E2%3D1%28a%3E0%2Cb%3E0%29%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%9A%84%E4%B8%A4%E7%82%B9A%2CB%2CO%E4%B8%BA%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%8E%9F%E7%82%B9.%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%8B%A5OA%E7%9A%84%E7%BB%9D%E5%AF%B9%E5%80%BC%3DOB%E7%9A%84%E7%BB%9D%E5%AF%B9%E5%80%BC%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E6%9B%B2%E7%BA%BFC%E6%98%AF%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%8B%A5OA%E5%9E%82%E7%9B%B4OB%2C%E5%BD%93a%3Eb%E4%B8%94a%E2%88%88%5B%EF%BC%88%E2%88%9A6%EF%BC%89%2F2%2C%EF%BC%88%E2%88%9A10%EF%BC%89%2F2%5D%E6%97%B6%2C%E6%B1%82%E6%9B%B2%E7%BA%BFC%E7%9A%84)
已知直线L:y=x+1与曲线C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)交于不同的两点A,B,O为坐标原点.(1)若OA的绝对值=OB的绝对值,求证:曲线C是一个圆(2)若OA垂直OB,当a>b且a∈[(√6)/2,(√10)/2]时,求曲线C的
已知直线L:y=x+1与曲线C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)交于不同的两点A,B,O为坐标原点.
(1)若OA的绝对值=OB的绝对值,求证:曲线C是一个圆
(2)若OA垂直OB,当a>b且a∈[(√6)/2,(√10)/2]时,求曲线C的离心率e的取值范围
已知直线L:y=x+1与曲线C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)交于不同的两点A,B,O为坐标原点.(1)若OA的绝对值=OB的绝对值,求证:曲线C是一个圆(2)若OA垂直OB,当a>b且a∈[(√6)/2,(√10)/2]时,求曲线C的
设直线L:y=x+1与曲线C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)
交于不同的两点A(x1,y1)B(x2,y2)
则y1=x1+1,y2=x2+1,x1^2/a^2+y1^2/b^2=1,x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
所以y1-y2=x1-x2,(x1^2-x2^2)/a^2+(y1^2-y2^2)/b^2=0
(1)因为|OA|=|OB|,所以x1^2+y1^2=x2^2+y2^2.
所以(x1^2-x2^2)=-(y1^2-y2^2)
代入(x1^2-x2^2)/a^2+(y1^2-y2^2)/b^2=0
得a=b,所以曲线C:x^2/a^2+y^2/b^2=1是一个圆
(2)将y=x+1代入曲线C:x^2/a^2+y^2/b^2=1
化简得(a^2+b^2)x^2+2a^2x+a^2-a^2b^2=0
所以x1+x2=-2a^2/(a^2+b^2),x1x2=a^2(1-b^2)/(a^2+b^2),
所以y1y2=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=b^2(1-a^2)/(a^2+b^2)
因为OA垂直OB,所以x1x2+y1y2=0
所以a^2(1-b^2)+b^2(1-a^2)=0
因为a>b,所以曲线C:x^2/a^2+y^2/b^2=1是一个焦点在x轴上的椭圆.
将b^2=a^2-c^2代入并化简得2a^2-c^2+2a^2c^2-2a^4=0
两边同除于a^4
得2/a^2-e^2/a^2+2e^2-2=0
所以(2-e^2)/(2e^2-2)=a^2
因为a∈[(√6)/2,(√10)/2]
所以3/2≤(2-e^2)/(2e^2-2)≤5/2
解得7/6≤e^2≤5/4
所以√42/6≤e≤√5/2.