.O为坐标原点,过点P(2,0),且斜率为k的直线l交抛物线y^2=2x于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,求证OM⊥ON
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 04:06:28
![.O为坐标原点,过点P(2,0),且斜率为k的直线l交抛物线y^2=2x于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,求证OM⊥ON](/uploads/image/z/10219680-0-0.jpg?t=.O%E4%B8%BA%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%8E%9F%E7%82%B9%2C%E8%BF%87%E7%82%B9P%EF%BC%882%2C0%EF%BC%89%2C%E4%B8%94%E6%96%9C%E7%8E%87%E4%B8%BAk%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E4%BA%A4%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BFy%5E2%3D2x%E4%BA%8EM%EF%BC%88x1%2Cy1%29%2CN%28x2%2Cy2%29%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E6%B1%82%E8%AF%81OM%E2%8A%A5ON)
.O为坐标原点,过点P(2,0),且斜率为k的直线l交抛物线y^2=2x于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,求证OM⊥ON
.O为坐标原点,过点P(2,0),且斜率为k的直线l交抛物线y^2=2x于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,求证OM⊥ON
.O为坐标原点,过点P(2,0),且斜率为k的直线l交抛物线y^2=2x于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,求证OM⊥ON
直线MN的方程为:y=k(x-2) (k≠0)
代入抛物线方程:k(x-2)²=2x
整理,得到:
k²x²-(4k²+2)x+4k²=0
故:
x1+x2=(4k²+2)/k²=4+2/k²……①
x1x2=4k²/k²=4……②
向量OM:(x1,y1),向量ON:(x2,y2)
∵OM⊥ON
∴应该满足:x1x2+y1y2=0
而:
x1x2+y1y2
=x1x2+k(x1-2)k(x2-2)
=(k²+1)x1x2-2k²(x1+x2)+4k²
将①、②代入计算可得:
x1x2+y1y2
=(k²+1)*4-2k²(4+2/k²)+4k²=0
因此:OM⊥ON
OK~