在所示的几何体中,底面ABCD是直角梯形,AB‖CD,∠DAB=90°,EA⊥底面ABCD,FD‖EA,EA=AB=2,FD=DC=1,AD=根号2(1)求异面直线BE与AF所成角的余弦值(2)求证:bd⊥面ACE(3)求二面角E-AC-F的余弦值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 16:46:02
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在所示的几何体中,底面ABCD是直角梯形,AB‖CD,∠DAB=90°,EA⊥底面ABCD,FD‖EA,EA=AB=2,FD=DC=1,AD=根号2(1)求异面直线BE与AF所成角的余弦值(2)求证:bd⊥面ACE(3)求二面角E-AC-F的余弦值
在所示的几何体中,底面ABCD是直角梯形,AB‖CD,∠DAB=90°,EA⊥底面ABCD,FD‖EA,EA=AB=2,FD=DC=1,AD=根号2
(1)求异面直线BE与AF所成角的余弦值
(2)求证:bd⊥面ACE
(3)求二面角E-AC-F的余弦值
在所示的几何体中,底面ABCD是直角梯形,AB‖CD,∠DAB=90°,EA⊥底面ABCD,FD‖EA,EA=AB=2,FD=DC=1,AD=根号2(1)求异面直线BE与AF所成角的余弦值(2)求证:bd⊥面ACE(3)求二面角E-AC-F的余弦值
(根据说明自己画辅助线)
分别取AE、AB的中点M、N,延长DF,使FG=DF,连结MN、MG、GN.
∵EA⊥底面ABCD ,FD‖EA
∴ FD⊥底面ABCD
∵AM=FG=1,且GF∥AM
∴四边形AMGF是平行四边形
∴MG∥AF
在△ABE中,MN∥BE
∴∠GMN为异面直线BE与AF所成的角或其补角.
在Rt△AMN中,AM=1 AN=1
∴MN=√2,
在Rt△ADF中,DF=1 AD=√2
∴ AF=√3
∵ AG=AF=√3
在Rt△ADN中,AN=1 ,AD=√2
∴DN=√3
连结DN,在Rt△DNG中,DG=2,DN=√3
∴NG=√7
在△MNG中,由余弦定理,得
cos∠GMN=(MN²+GM²-GN²)/2MN·GM=﹣√6/6
∴ ∠GMN的补角的余弦值为√6/6
故 异面直线BE与AF所成角的余弦值为√6/6
(2)设AC与BD的交点为O.
∵ AB‖CD
∴ △OBA∽△ODC
∴OB/OD=OA/OC=AB/CD=2/1=2
∴OA=2/3AC ,OB=2/3BD
在Rt△ABD中,AB=2 ,AD=√2
∴BD=√(AB²+AD²)=√6
在Rt△ADC中,AD=√2 ,DC=1
∴AC=√(AD²+DC²)=√3
∴ OA=2/3AC =2√3/3 ,OB=2/3BD=2√6/3
∴在△ABO中,有 AB²=4,AO²+BO²=(2√3/3 )²+(2√6/3)² =4
∴AB²=AO²+BO²
∴ON⊥OB
即BD⊥AC
∵EA⊥底面ABCD
∴ 平面EAC⊥平面ABCD
∴ 平面与平面垂直的性质知:BD⊥面ACE
(3) 在平面EAC内作OH⊥AC交EC于H,连结OF.
∴OH∥EA
∵FD⊥平面ABCD ,DO⊥AC
∴由三垂线定理,得 OF⊥AC
∴ ∠HOF为平面EAC与平面FAC所成二面角的平面角
∵DF∥EA∥HO
∴DF∥HO
∴∠DFO=∠HOF
在Rt△DOF中,DF=1 ,DO=1/3BD=√6/3
∴OF=√(DO²+DF²)=√15/3
COS∠DFO=DF/OF==√15/5
即 COS∠HOF =√15/5
故二面角E-AC-F的余弦值√15/5