设数列a1,a2,a3...,an,...中的每一项都不为0.证明:{an}为等差数列的充分必要条件是:对任何n属于N,都有1/a1*a2+1/a2*a3+...1/an*an+1=n/a1*an+1我会证明必要性,也会用直接法证明充要性,但是那个数学归纳
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 15:31:09
![设数列a1,a2,a3...,an,...中的每一项都不为0.证明:{an}为等差数列的充分必要条件是:对任何n属于N,都有1/a1*a2+1/a2*a3+...1/an*an+1=n/a1*an+1我会证明必要性,也会用直接法证明充要性,但是那个数学归纳](/uploads/image/z/14760674-26-4.jpg?t=%E8%AE%BE%E6%95%B0%E5%88%97a1%2Ca2%2Ca3...%2Can%2C...%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%AF%8F%E4%B8%80%E9%A1%B9%E9%83%BD%E4%B8%8D%E4%B8%BA0.%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%7Ban%7D%E4%B8%BA%E7%AD%89%E5%B7%AE%E6%95%B0%E5%88%97%E7%9A%84%E5%85%85%E5%88%86%E5%BF%85%E8%A6%81%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%98%AF%EF%BC%9A%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E4%BD%95n%E5%B1%9E%E4%BA%8EN%2C%E9%83%BD%E6%9C%891%2Fa1%2Aa2%2B1%2Fa2%2Aa3%2B...1%2Fan%2Aan%2B1%3Dn%2Fa1%2Aan%2B1%E6%88%91%E4%BC%9A%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%BF%85%E8%A6%81%E6%80%A7%2C%E4%B9%9F%E4%BC%9A%E7%94%A8%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E6%B3%95%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%85%85%E8%A6%81%E6%80%A7%2C%E4%BD%86%E6%98%AF%E9%82%A3%E4%B8%AA%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BD%92%E7%BA%B3)
设数列a1,a2,a3...,an,...中的每一项都不为0.证明:{an}为等差数列的充分必要条件是:对任何n属于N,都有1/a1*a2+1/a2*a3+...1/an*an+1=n/a1*an+1我会证明必要性,也会用直接法证明充要性,但是那个数学归纳
设数列a1,a2,a3...,an,...中的每一项都不为0.证明:{an}为等差数列的充分必要条件是:对任何n属于N,都有1/a1*a2+1/a2*a3+...1/an*an+1=n/a1*an+1
我会证明必要性,也会用直接法证明充要性,但是那个数学归纳法,我有2个疑点!
疑点一
让我们沿着答案的思路探寻下去
思路第一步:如果数列满足这个等式,则可得到(k-1)ak+1+a1=kak(1)
受直接法的启发,我认为此时把k换成k+1代入(1)得到一个新等式(2)就一了百了了,但是,它没有这样做,我知道是因为如果那样做,这个方法就不可被称为“归纳法”而成了“直接”法,但是接下来——问题出现了!
思路第二步:它口口声声说“假设ak=a1+(k-1)d”,换言之,就是“假设an是一个等差数列”将此时的ak代入(k-1)ak+1+a1=kak,得到ak+1=a1+kd
关键就在这!它的结论是完全是在“假设”的条件下得到的,也就是说,这个结论本身就是假设的,到最后还是不知道“ak=a1+(k-1)d”这个假设到底成不成立呀!
那么,这个“假设”到底为什么是可行的?
疑点二
设所述的等式对一切n∈N都成立,首先在等式①
两端同时乘a1a2a3,即得a1+a3=2a2,
所以a1,a2,a3成等差数列,记公差为d,则a2=a1+d.
这段话的用意是什么呢?是旁敲侧击地提示我们解答的方法,还是答案就是这个思路?如果是前者,那么只能感叹我的悟性实在太低,无话可说;
如果是后者,问题又出现了:
在这里1,2,3是连续的三个数,按这个思路,我们应该努力求出k-1,k,k+1三者的关系,也就是把“观察如下二等式”换成“观察如下三等式".我这样做了,发现结果很复杂,而且得不到ak-1+ak+1=2ak,因此无法证明ak-1,ak,ak+1三者成等差数列.此路断,换言之就是上面那段话非但无用,还误导了我!
那么,那段话到底@#着什么?
这一切的一切,究竟源自何方,又去往何处?
苦海中的弟子,可否受您一渡?
设数列a1,a2,a3...,an,...中的每一项都不为0.证明:{an}为等差数列的充分必要条件是:对任何n属于N,都有1/a1*a2+1/a2*a3+...1/an*an+1=n/a1*an+1我会证明必要性,也会用直接法证明充要性,但是那个数学归纳
设数列a1,a2,a3,an,中的每一项都不为0.证明:{an}为等差数列的充分必要条件是:对任何n属于N,都有1/a1*a2+1/a2*a3+1/an