设x1,x2是关于x的一元二次方程x²+2ax+ a²+4a-2=0的两个实数根,当a为何值时,(x1)² +(x2)² 有最小值?最小值为多少?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 11:58:00
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设x1,x2是关于x的一元二次方程x²+2ax+ a²+4a-2=0的两个实数根,当a为何值时,(x1)² +(x2)² 有最小值?最小值为多少?
设x1,x2是关于x的一元二次方程x²+2ax+ a²+4a-2=0的两个实数根,当a为何值时,
(x1)² +(x2)² 有最小值?最小值为多少?
设x1,x2是关于x的一元二次方程x²+2ax+ a²+4a-2=0的两个实数根,当a为何值时,(x1)² +(x2)² 有最小值?最小值为多少?
由韦达定理得
x1+x2=-2a
x1×x2=a²+4a-2
x1+x2=-2a
两边平方
(x1+x2)²=4a²
x1²+2x1x2+x2²=4a²
x1²+x2²=4a²-2x1x2
代入得
x1²+x2²=4a²-2×(a²+4a-2)
x1²+x2²=4a²-2a²-8a+4
x1²+x2²=2a²-8a+4
2a²-8a+4
把此式子配方
2(a²-4a+2)
2(a²-4a+4-2)
2[(a-2)²-2]
2(a-2)²-4
所以x1²+x2²=2(a-2)²-4
显然
当a=2 时 x1²+x2²有最小值 最小值是 -4
或者你也可以从抛物线图像方面去想
求得顶点坐标就有最小值
代入 -b/2a 求出顶点坐标就可以了
韦达定理 x1+x2=-2a,x1x2=a²+4a-2
(x1)²+(x2)²=(x1+x2)²-2x1x2=4a²-2a²-8a+4=2a²-8a+4=2(a²-4a+2)
a²-4a+2=a²-4a+4-4+2=(a-2)²-2≥-2
所以当a=2时,(x1)²+(x2)²有最小值2*(-2)=-4
一元二次方程有实数根 所以▲大于等于0.得a小于等于1/2.
由韦达定理得 x1+x2=-2a ; x1×x2=a²+4a-2
x1+x2=-2a
两边平方得 (x1+x2)²=4a²
x1²+2x1x2+x2²=4a²
x1²+x2²=4a²-2x1x2
...
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一元二次方程有实数根 所以▲大于等于0.得a小于等于1/2.
由韦达定理得 x1+x2=-2a ; x1×x2=a²+4a-2
x1+x2=-2a
两边平方得 (x1+x2)²=4a²
x1²+2x1x2+x2²=4a²
x1²+x2²=4a²-2x1x2
代入得
x1²+x2²=4a²-2×(a²+4a-2)
x1²+x2²=4a²-2a²-8a+4
x1²+x2²=2a²-8a+4=2(a-2)² -4
所以当a=1/2时有最小值,最小值为1/2
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