如图,在直角梯形ABCD中,已知AD平行于BC,角A等于90度,AB等于AD等于6,DE垂直于DC交AB于点E,(接上)DE平分角EDC交BC于点F,连接EF.(1)证明:EF等于CF; (2)当tan∠ADE等于三分之一时,求EF的长.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 23:51:42
![如图,在直角梯形ABCD中,已知AD平行于BC,角A等于90度,AB等于AD等于6,DE垂直于DC交AB于点E,(接上)DE平分角EDC交BC于点F,连接EF.(1)证明:EF等于CF; (2)当tan∠ADE等于三分之一时,求EF的长.](/uploads/image/z/2612033-17-3.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E7%9B%B4%E8%A7%92%E6%A2%AF%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5AD%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E4%BA%8EBC%2C%E8%A7%92A%E7%AD%89%E4%BA%8E90%E5%BA%A6%2CAB%E7%AD%89%E4%BA%8EAD%E7%AD%89%E4%BA%8E6%2CDE%E5%9E%82%E7%9B%B4%E4%BA%8EDC%E4%BA%A4AB%E4%BA%8E%E7%82%B9E%2C%EF%BC%88%E6%8E%A5%E4%B8%8A%EF%BC%89DE%E5%B9%B3%E5%88%86%E8%A7%92EDC%E4%BA%A4BC%E4%BA%8E%E7%82%B9F%2C%E8%BF%9E%E6%8E%A5EF.%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9AEF%E7%AD%89%E4%BA%8ECF%EF%BC%9B+%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%BD%93tan%E2%88%A0ADE%E7%AD%89%E4%BA%8E%E4%B8%89%E5%88%86%E4%B9%8B%E4%B8%80%E6%97%B6%2C%E6%B1%82EF%E7%9A%84%E9%95%BF.)
如图,在直角梯形ABCD中,已知AD平行于BC,角A等于90度,AB等于AD等于6,DE垂直于DC交AB于点E,(接上)DE平分角EDC交BC于点F,连接EF.(1)证明:EF等于CF; (2)当tan∠ADE等于三分之一时,求EF的长.
如图,在直角梯形ABCD中,已知AD平行于BC,角A等于90度,AB等于AD等于6,DE垂直于DC交AB于点E,
(接上)DE平分角EDC交BC于点F,连接EF.(1)证明:EF等于CF; (2)当tan∠ADE等于三分之一时,求EF的长.
如图,在直角梯形ABCD中,已知AD平行于BC,角A等于90度,AB等于AD等于6,DE垂直于DC交AB于点E,(接上)DE平分角EDC交BC于点F,连接EF.(1)证明:EF等于CF; (2)当tan∠ADE等于三分之一时,求EF的长.
(1)
如图,作 DG⊥BC交BC于G
∵ ABCD是直角梯形,AD=AB,AD∥BC
∴ ABGD是正方形
∴ DG=AB=AD,∠ADG=90°
∵ ∠ADE = ∠ADG-∠EDG = 90°-∠EDG
而 ∠GDC = ∠EDC-∠EDG = 90°-∠EDG
∴ ∠ADE =∠GDC
在 △ADE 和 △GDC 中,∠A=∠DGC = 90°,∠ADE =∠GDC,AD=DG
∴ △ADE ≌ △GDC (A,S,A)
∴ DE=DC
∵ DF 是 ∠EDC 的平分线
在 △EDF 和 △CDF 中,∠EDF=∠CDF,DE=DC,DF=DF
∴ △EDF ≌ △CDF (S,A,S)
∴ EF=CF
(2)
设EF=CF=x
∵ tan∠ADE = AE/AD = 1/3
而 AD =AB = 6
∴ AE =2,GC=AE=2
∴ EB =AB-AE = 6-2 =4,BC = BG+GC = 6+2 =8
∴ BF =BC-CF = 8-x
在 直角三角形BEF中,由勾股定理,有 16+(8-x)²=x²
即 16+64-16x+x² =x²
解得 x = 5
所以 EF=5
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(1)证明:因为∠A等于90°,AB=AD=6, ∴作DG⊥BC于点G,可得正方形ABGD,∠ADG=90° 因为DE⊥DC交AB于点E,∴∠ADE=∠CDG=90°-∠EDG 又因为∠A=∠DGC=90° ∴△ADE≅△GDC,∴DE=DC, 因为DE平分∠EDC,DF公共,所以△DEF≅△DCF ∴EF=CF (2)当tan∠ADE=(1/3)时,得AE:AD=1:3,又AD=AB=6 所以AE=2,BE=4,由(1)知CG=AE=2,设EF=x, 则FG=FC-GC=x-2,BF=6-FG=8-x,在Rt△BEF中: x平方=4平方+(8-x)平方 解得x=5,EF长为5.