)已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2.已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A、B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程(2)若C,D分别是椭圆
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 19:12:58
![)已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2.已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A、B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程(2)若C,D分别是椭圆](/uploads/image/z/2687949-45-9.jpg?t=%29%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%A4%AD%E5%9C%86x%5E2%2Fa%5E2%2By%5E2%2Fb%5E%3D1%28a%3Eb%3E0%29%E7%9A%84%E5%B7%A6%2C%E5%8F%B3%E7%84%A6%E7%82%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAF1%2CF2.%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%A4%AD%E5%9C%86x%5E2%2Fa%5E2%2By%5E2%2Fb%5E%3D1%28a%3Eb%3E0%29%E7%9A%84%E5%B7%A6%2C%E5%8F%B3%E7%84%A6%E7%82%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAF1%2CF2%2C%E7%9F%AD%E8%BD%B4%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E7%AB%AF%E7%82%B9%E4%B8%BAA%E3%80%81B%2C%E4%B8%94%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2F1AF2B%E6%98%AF%E8%BE%B9%E9%95%BF%E4%B8%BA2%E7%9A%84%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2.%281%29%E6%B1%82%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%282%29%E8%8B%A5C%2CD%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AF%E6%A4%AD%E5%9C%86)
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)已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2.
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A、B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.
(1)求椭圆的方程
(2)若C,D分别是椭圆长轴的左,右端点,动点M满足MD⊥CD,连结CM,交椭圆与点P,证明:向量OM·向量OP为定值
(3)在(2)的条件,试问X轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
)已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2.已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A、B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程(2)若C,D分别是椭圆
(1)由题意知F1A=2,即a=2,OA=OF1=根号2,b=c=根号2,
所以椭圆方程为 x^2/4+y^2/2=1
(2)设点M的坐标为(2,Ym),点P的坐标为(Xp,Yp),满足 Xp^2/4+Yp^2/2=1.
由于M,P是在x轴的同一侧,所以Ym,Yp同正同负,已知MD⊥CD,过点P做线段垂直于x轴,根据三角形相似比,得到Yp/Ym=(Xp+2)/4,Ym=4Yp/(Xp+2)
向量OM点乘向量OP
=(2,Ym)(Xp,Yp)
=2Xp+YmYp
=2Xp+4Yp/(Xp+2)*Yp
=2Xp+(8-2Xp^2)/(Xp+2)
=(8+4Xp)/(Xp+2)=4
(3)设直线DP,MQ的交点为点N,MP为直径的圆恒过点N,即角PNM=90,即DP与MQ互相垂直.
点M的坐标为(2,Ym),点P的坐标为(Xp,Yp),点D的坐标为(2,0),点Q的坐标为(X0,0)
向量DP点乘向量QM
=(Xp-2,Yp)(2-X0,Ym)
=(Xp-2)(2-X0)+YpYm
=(Xp-2)(2-X0)+4Yp/(Xp+2)*Yp
=(Xp-2)(2-X0)+2(2-Xp)
=-X0(Xp-2)=0
动点M,连结CM,交椭圆与点P,所以点P也是动点,所以X0=0,点Q的坐标为(0,0)