设f(x)是定义在(0,正无穷)上的函数,且满足关系f(x)=f(1/x)lgx+1(1)求f(x)的解析式 (2)当x取何值时,f(x)有最大值和最小值?各是多少?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 13:20:26
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设f(x)是定义在(0,正无穷)上的函数,且满足关系f(x)=f(1/x)lgx+1(1)求f(x)的解析式 (2)当x取何值时,f(x)有最大值和最小值?各是多少?
设f(x)是定义在(0,正无穷)上的函数,且满足关系f(x)=f(1/x)lgx+1
(1)求f(x)的解析式
(2)当x取何值时,f(x)有最大值和最小值?各是多少?
设f(x)是定义在(0,正无穷)上的函数,且满足关系f(x)=f(1/x)lgx+1(1)求f(x)的解析式 (2)当x取何值时,f(x)有最大值和最小值?各是多少?
令x=1/x
则f(1/x)=f(x)lg(1/x)+1
代入f(x)=f(1/x )*lgx+1
=[f(x)lg(1/x)+1]*lgx+1
f(x)=f(x)lg(1/x)lgx+lgx+1
lgx*lg(1/x)
=lgx*(-lgx)
=-(lgx)^2
所以,f(x)=(lgx+1)/[1+(lgx)^2]
设y=(lgx+1)/(1+(lgx)^2)
y(1+(lgx)^2)=lgx+1
y*(lgx)^2-lgx+y-1=0
判别式=1-4y(y-1)>=0
1-4y^2+4y>=0
4y^2-4y
(1)f(x)=f(1/x)lgx+1
∴f(1/x)=f(x)lg(1/x)+1
代入得f(x)=[f(x)lg(1/x)+1]lgx+1
解得f(x)=(lgx+1)/(lg²x+1)
(2)f(x)=(lgx+1)/(lg²x+1)
令f(x)=y得ylg²x-lgx+y-1=0
△=1-4y(y-1)>=0
全部展开
(1)f(x)=f(1/x)lgx+1
∴f(1/x)=f(x)lg(1/x)+1
代入得f(x)=[f(x)lg(1/x)+1]lgx+1
解得f(x)=(lgx+1)/(lg²x+1)
(2)f(x)=(lgx+1)/(lg²x+1)
令f(x)=y得ylg²x-lgx+y-1=0
△=1-4y(y-1)>=0
解得(1-√2)/2<=y<=(1+√2)/2
即当f(x)有最大值(1+√2)/2时,lgx=√2-1即x=10的√2-1次方
当f(x)有最小值(1-√2)/2时,lgx=-√2-1 即x=10的-√2-1次方
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