已知,如图,正方形ABCD的边长为a,BM、DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45度,连接MC、MN、NC.(1)求∠MCN的度数 (2)猜想:线段BM、DN与MN之间的数量关系
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 13:53:39
![已知,如图,正方形ABCD的边长为a,BM、DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45度,连接MC、MN、NC.(1)求∠MCN的度数 (2)猜想:线段BM、DN与MN之间的数量关系](/uploads/image/z/4043652-60-2.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%2C%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2ABCD%E7%9A%84%E8%BE%B9%E9%95%BF%E4%B8%BAa%2CBM%E3%80%81DN%E5%88%86%E5%88%AB%E5%B9%B3%E5%88%86%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%E7%9A%84%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E5%A4%96%E8%A7%92%2C%E4%B8%94%E6%BB%A1%E8%B6%B3%E2%88%A0MAN%3D45%E5%BA%A6%2C%E8%BF%9E%E6%8E%A5MC%E3%80%81MN%E3%80%81NC.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E2%88%A0MCN%E7%9A%84%E5%BA%A6%E6%95%B0+++++%EF%BC%882%EF%BC%89%E7%8C%9C%E6%83%B3%EF%BC%9A%E7%BA%BF%E6%AE%B5BM%E3%80%81DN%E4%B8%8EMN%E4%B9%8B%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%95%B0%E9%87%8F%E5%85%B3%E7%B3%BB)
已知,如图,正方形ABCD的边长为a,BM、DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45度,连接MC、MN、NC.(1)求∠MCN的度数 (2)猜想:线段BM、DN与MN之间的数量关系
已知,如图,正方形ABCD的边长为a,BM、DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45度,连接MC、MN、NC.
(1)求∠MCN的度数 (2)猜想:线段BM、DN与MN之间的数量关系
已知,如图,正方形ABCD的边长为a,BM、DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45度,连接MC、MN、NC.(1)求∠MCN的度数 (2)猜想:线段BM、DN与MN之间的数量关系
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∵BM,DN分别平分正方形的两个外角,
∴∠CBM=∠CDN=45°,
∴∠ABM=∠ADN=135°,
∵∠MAN=45°,
∴∠BMA=∠NAD,
∴△ABM∽△NDA,
∴BMAD=
ABND
∴BM•DN=a2.
由上有△ABM∽△NDA可得BM:DA=AB:ND.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=DC,DA=BC,∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°.
∴BM:BC=DC:ND.
∵BM,DN分别平分正方形ABCD的两个外角,
∴∠CBM=∠NDC=45°.
∴△BCM∽△DNC.
∴∠BCM=∠DNC.
∴∠MCN=360°-∠BCD-∠BCM-∠DCN=270°-(∠DNC+∠DCN)=270°-(180°-∠CDN)=135°.
(2)线段BM,DN和MN之间的等量关系是BM2+DN2=MN2.
证明::如图,将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,连接MF.则
△ABF≌△ADN.
∴∠1=∠3,AF=AN,BF=DN,∠AFB=∠AND.
∴∠MAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠MAN=45°.
∴∠MAF=∠MAN.
又∵AM=AM,
∴△AMF≌△AMN.
∴MF=MN.
可得∠MBF=(∠AFB+∠1)+45°=(∠AND+∠3)+45°=90°.
∴在Rt△BMF中,BM2+BF2=FM2.
∴BM2+DN2=MN2.