梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q,PQ连线平分梯形面积,求证:PQ必过一定点梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q,PQ连线平分梯形面积,用解析法求证:PQ必过一定点。
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 17:34:04
![梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q,PQ连线平分梯形面积,求证:PQ必过一定点梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q,PQ连线平分梯形面积,用解析法求证:PQ必过一定点。](/uploads/image/z/4928486-14-6.jpg?t=%E6%A2%AF%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%ADAB%E5%B9%B3%E8%A1%8CCD%2C%E5%9C%A8AB%E3%80%81CD%E5%90%84%E6%9C%89%E4%B8%80%E5%8A%A8%E7%82%B9P%E3%80%81Q%2CPQ%E8%BF%9E%E7%BA%BF%E5%B9%B3%E5%88%86%E6%A2%AF%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A7%AF%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9APQ%E5%BF%85%E8%BF%87%E4%B8%80%E5%AE%9A%E7%82%B9%E6%A2%AF%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%ADAB%E5%B9%B3%E8%A1%8CCD%2C%E5%9C%A8AB%E3%80%81CD%E5%90%84%E6%9C%89%E4%B8%80%E5%8A%A8%E7%82%B9P%E3%80%81Q%EF%BC%8CPQ%E8%BF%9E%E7%BA%BF%E5%B9%B3%E5%88%86%E6%A2%AF%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A7%AF%EF%BC%8C%E7%94%A8%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%B3%95%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9APQ%E5%BF%85%E8%BF%87%E4%B8%80%E5%AE%9A%E7%82%B9%E3%80%82)
梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q,PQ连线平分梯形面积,求证:PQ必过一定点梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q,PQ连线平分梯形面积,用解析法求证:PQ必过一定点。
梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q,PQ连线平分梯形面积,求证:PQ必过一定点
梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q,PQ连线平分梯形面积,用解析法求证:PQ必过一定点。
梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q,PQ连线平分梯形面积,求证:PQ必过一定点梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q,PQ连线平分梯形面积,用解析法求证:PQ必过一定点。
PQ过梯形两底中点连线的中点.证明如下:
令AB、CD的中点分别为E、F,再令EF的中点为G.
∵AE=BE,∴△AEF和△BEF是等底同高的三角形,
∴△AEF的面积=△BEF的面积.
∵BF=CF,∴△ADF和△BCF是等底同高的三角形,
∴△ADF的面积=△BCF的面积.
∴△AEF的面积+△ADF的面积=△BEF的面积+△BCF的面积,
即:ADFE的面积=BCEF的面积,可见EF平分梯形ABCD的面积.
过G任作一直线分别交AB、CD于M、N.
∵ME∥FN,∴∠MEG=∠NFG,显然,∠MGE=∠NGF,而EG=FG,∴△MEG≌△NFG,
∴△MEG的面积=△NFG的面积,
∴ADFE的面积-△MEG的面积+△NFG的面积=BCEF的面积-△NFG的面积+△MEG的面积,
即:ADNM的面积=BCNM的面积,可见MN正是平分梯形面积的直线PQ.
∴平分梯形面积的PQ过点梯形两底中点连线的中点G.
考虑左半边梯形APQC,它的面积是梯形ABCD的一半,因为梯形面积=(上底+下底)*高/2,所以上底AP+下底CQ为定值。假设AB中点是M,CD中点是N,比较梯形APQC和梯形AMNC可知(理解为PQ由MN这个位置移动到现在的位置)PM=NQ。假设MN与PQ交于O,因为AB平行于CD,所以角AMO=角OND,又对顶角相等,由角角边得△PMO∽△QNO,且MO=NO。即PQ必定经过MN中点O。...
全部展开
考虑左半边梯形APQC,它的面积是梯形ABCD的一半,因为梯形面积=(上底+下底)*高/2,所以上底AP+下底CQ为定值。假设AB中点是M,CD中点是N,比较梯形APQC和梯形AMNC可知(理解为PQ由MN这个位置移动到现在的位置)PM=NQ。假设MN与PQ交于O,因为AB平行于CD,所以角AMO=角OND,又对顶角相等,由角角边得△PMO∽△QNO,且MO=NO。即PQ必定经过MN中点O。
收起
连接对角线 必过对角线交点