)已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的 底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点.(1)求证:MF⊥平面ACC1A1(2求四面体D1-AMF的体积
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 01:40:14
![)已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的 底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点.(1)求证:MF⊥平面ACC1A1(2求四面体D1-AMF的体积](/uploads/image/z/5269952-56-2.jpg?t=%29%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E7%9B%B4%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E6%9F%B1ABCD%E2%80%94A1B1C1D1%E7%9A%84+%E5%BA%95%E9%9D%A2%E6%98%AF%E8%8F%B1%E5%BD%A2%2C%E4%B8%94%E2%88%A0DAB%3D60%C2%B0%2CAD%3DAA1%2CF%E4%B8%BA%E6%A3%B1BB1%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2CM%E4%B8%BA%E7%BA%BF%E6%AE%B5AC1%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AMF%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ACC1A1%EF%BC%882%E6%B1%82%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93D1-AMF%E7%9A%84%E4%BD%93%E7%A7%AF)
)已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的 底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点.(1)求证:MF⊥平面ACC1A1(2求四面体D1-AMF的体积
)已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的 底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点.
(1)求证:MF⊥平面ACC1A1
(2求四面体D1-AMF的体积
)已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的 底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点.(1)求证:MF⊥平面ACC1A1(2求四面体D1-AMF的体积
如下图所示:
(1)证明:连接D1B1交A1C1于点O,再连接OM
∵A1B1C1D1是菱形
∴D1B1⊥A1C1
∵直四棱柱ABCD—A1B1C1D1
∴D1B1⊥AA1
∴D1B1⊥平面ACC1A1
∵点O为线段A1C1中点,M为线段AC1的中点
∴OM=1/2AA1=BB1
∵F为棱BB1的中点
∴OM与B1F平行且相等
∴MFB1O为平行四边形
∴MF∥D1B1
∴MF⊥平面ACC1A1
(2)求四面体D1-AMF的体积,AD=AA1=?这个不知道如何计算的出来?
为了方便计算暂且令AD=AA1=2
过点O作C1M的垂线OE
∵D1B1∥MF
∴D1B1∥平面AMF 即点D1到平面AMF的距离等价于点O到平面AMF的距离
∵MF⊥平面ACC1A1
∴MF⊥OE
又OE⊥AC1即OE⊥AM
∴OE⊥平面AMF
∴OE即为点O到平面AMF的距离
∵OM=1/2AA1=1
∵ABCD是菱形,且∠DAB=60°
∴易求得AC=A1C1=2√3
∴OC1=√3
∴在直角三角形MOC1中求得:MC1=2
∴再根据直角三角形MOC1面积相等得:OE=OM×OC1/MC1=√3/2
∴直角三角形AMF面积=MF×AM/2=1×2/2=1
∴四面体D1-AMF的体积=SH/3=(1×√3/2)/3=√3/6