高数证明单调性设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内f''(x)>0,证明:φ(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a)在(a,b)内单调增
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 23:57:38
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高数证明单调性设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内f''(x)>0,证明:φ(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a)在(a,b)内单调增
高数证明单调性
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内f''(x)>0,证明:
φ(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a)在(a,b)内单调增
高数证明单调性设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内f''(x)>0,证明:φ(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a)在(a,b)内单调增
φ'(x)=[(x-a)f'(x)-(f(x)-f(a))]/(x-a)^2,由Lagrange中值定理,存在ξ∈(a,x),使得f(x)-f(a)=f'(ξ)(x-a),所以
φ'(x)=[(x-a)f'(x)-f'(ξ)(x-a)]/(x-a)^2=[f'(x)-f'(ξ)]/(x-a)
因为在(a,b)内f''(x)>0,所以f'(x)在(a,b)内单调增加,所以f'(x)-f'(ξ)>0.
所以在(a,b)内φ'(x)>0,所以φ(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a)在(a,b)内单调增
φ(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a)
由Lagrange中值
φ(x)=[f'(ξ)(x-a)]/(x-a)=f'(ξ) a<ξ
所以φ(x)在(a,b)内单调增.
证明:只要证明φ'(x)>0即可
φ'(x)=[f'(x)(x-a)-(f(x)-f(a))]/(x-a)^2
=[f'(x)(x-a)-(x-a)f'(ξ)]/(x-a)^2,a<ξ
因为(a,b)内f''(x)>0,a<ξ
所以φ(x)为(a,b)上的增函数