若函数f(x)=(a-3)x-ax 3 在区间[-1 ,1]上的最小值等于-3,则实数a的取 值范围是
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 23:19:34
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若函数f(x)=(a-3)x-ax 3 在区间[-1 ,1]上的最小值等于-3,则实数a的取 值范围是
若函数f(x)=(a-3)x-ax 3 在区间[-1 ,1]上的最小值等于-3,则实数a的取 值范围是
若函数f(x)=(a-3)x-ax 3 在区间[-1 ,1]上的最小值等于-3,则实数a的取 值范围是
【分析】
由函数f(x)=(a-3)x-ax³在区间[-1,1]上的最小值等于-3,由函数解析式先求其导函数,进而可判断函数在区间[-1,1]上的单调性,从而可求函数的最小值,即可.
由函数f(x)=(a-3)x-ax³求导函数为:
f′(x)=-3ax²+(a-3)
①当a=0时
f(x)=-3x
此时函数在定义域内单调递减
所以函数的最小值为:
f(1)=-3,符合题意
所以a=0符合题意;
②当a≠0时
f‘(x)=0
即:3ax²=a-3
(I)当0<a≤3时
f′(x)=-3ax²+(a-3)为开口向下的二次函数
且△=12a(a-3)≤0,f‘(x)≤0恒成立
所以函数f(x)在定义域上为单调递减函数
函数的最小值为f(1)=-3,此时符合题意;
(II)当a<0或a>3时
f′(x)=0
即:3ax²=a-3
解得:
x=±√[(a-3)/3a]
①当-√[(a-3)/3a]≥-1
且√[(a-3)/3a]≤1
即:a≤-3/2时
函数f(x)
在[-1,-√[(a-3)/3a]]上单调递增
在[-√[(a-3)/3a],√[(a-3)/3a]] 上单调递减
在[√[(a-3)/3a],1]上单调递增
所以此时函数在定义域的最小值为:
f(-1)=-3
或
f(-√[(a-3)/3a])=[√(a-3)/3a]×[2-(2a/3)]
令
f(-√[(a-3)/3a])>-3
解得:
a∈φ
② 当-√[(a-3)/3a]<-1
且√[(a-3)/3a]>1
即-3/2≤a≤12时
函数在定义域上始终单调递减
则函数在定义域上的最小值为:
f(1)=-3,符合题意.
综上所述:
当-3/2≤ a≤12 时符合题意
即实数a的取值范围是-3/2≤ a≤12.
由于公式复杂,怕你看不明白,特截图详细解题步骤如下:
点击看图片
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