设函数f(x)在[0,正无穷)上连续,单调不减且f(0)>=0,试证 F(x)=1/x*∫(0到x)t^n*f(t)dt x>0 0 x=0证明.在[0,正无穷)上连续且单调不减(其中n大于0)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 12:13:34
![设函数f(x)在[0,正无穷)上连续,单调不减且f(0)>=0,试证 F(x)=1/x*∫(0到x)t^n*f(t)dt x>0 0 x=0证明.在[0,正无穷)上连续且单调不减(其中n大于0)](/uploads/image/z/6798395-11-5.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E5%9C%A8%5B0%2C%E6%AD%A3%E6%97%A0%E7%A9%B7%29%E4%B8%8A%E8%BF%9E%E7%BB%AD%2C%E5%8D%95%E8%B0%83%E4%B8%8D%E5%87%8F%E4%B8%94f%280%29%3E%3D0%2C%E8%AF%95%E8%AF%81+F%28x%29%3D1%2Fx%2A%E2%88%AB%EF%BC%880%E5%88%B0x%EF%BC%89t%5En%2Af%28t%29dt+x%3E0+0+x%3D0%E8%AF%81%E6%98%8E.%E5%9C%A8%5B0%2C%E6%AD%A3%E6%97%A0%E7%A9%B7%29%E4%B8%8A%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E4%B8%94%E5%8D%95%E8%B0%83%E4%B8%8D%E5%87%8F%EF%BC%88%E5%85%B6%E4%B8%ADn%E5%A4%A7%E4%BA%8E0%EF%BC%89)
设函数f(x)在[0,正无穷)上连续,单调不减且f(0)>=0,试证 F(x)=1/x*∫(0到x)t^n*f(t)dt x>0 0 x=0证明.在[0,正无穷)上连续且单调不减(其中n大于0)
设函数f(x)在[0,正无穷)上连续,单调不减且f(0)>=0,试证 F(x)=1/x*∫(0到x)t^n*f(t)dt x>0 0 x=0
证明.在[0,正无穷)上连续且单调不减(其中n大于0)
设函数f(x)在[0,正无穷)上连续,单调不减且f(0)>=0,试证 F(x)=1/x*∫(0到x)t^n*f(t)dt x>0 0 x=0证明.在[0,正无穷)上连续且单调不减(其中n大于0)
分子为积分,分母为x
因此F(x)必然可导
求导:
F'(x)=(x^(n+1)f(x)-∫(0到x)t^n*f(t)dt)/x^2
判断导函数分子正负号:
设g(t)=t^nf(t)
=>
x^(n+1)f(x)-∫(0到x)t^n*f(t)dt
=x*g(x)-∫(0到x)g(t)dt
有积分中值定理:
=x*g(x)-x*g(η)
0