证明:若f'(x)|f(x),则f(x)有n重因式,其中n是多项式f(x)的次数.证明:若f'(x)|f(x),则f(x)有n重因式,其中n是f(x)的次数.或者证明:若f'(x)|f(x),且f(x)次数为n,则存在a,b使,f(x)=a(x-b)^n这么简单的题,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 23:53:46
![证明:若f'(x)|f(x),则f(x)有n重因式,其中n是多项式f(x)的次数.证明:若f'(x)|f(x),则f(x)有n重因式,其中n是f(x)的次数.或者证明:若f'(x)|f(x),且f(x)次数为n,则存在a,b使,f(x)=a(x-b)^n这么简单的题,](/uploads/image/z/7846259-59-9.jpg?t=%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E8%8B%A5f%27%28x%29%7Cf%28x%29%2C%E5%88%99f%28x%29%E6%9C%89n%E9%87%8D%E5%9B%A0%E5%BC%8F%2C%E5%85%B6%E4%B8%ADn%E6%98%AF%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8Ff%28x%29%E7%9A%84%E6%AC%A1%E6%95%B0.%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E8%8B%A5f%27%28x%29%7Cf%28x%29%2C%E5%88%99f%28x%29%E6%9C%89n%E9%87%8D%E5%9B%A0%E5%BC%8F%2C%E5%85%B6%E4%B8%ADn%E6%98%AFf%28x%29%E7%9A%84%E6%AC%A1%E6%95%B0.%E6%88%96%E8%80%85%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E8%8B%A5f%27%28x%29%7Cf%28x%29%EF%BC%8C%E4%B8%94f%28x%29%E6%AC%A1%E6%95%B0%E4%B8%BAn%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%AD%98%E5%9C%A8a%2Cb%E4%BD%BF%EF%BC%8Cf%28x%29%3Da%28x-b%29%5En%E8%BF%99%E4%B9%88%E7%AE%80%E5%8D%95%E7%9A%84%E9%A2%98%EF%BC%8C)
证明:若f'(x)|f(x),则f(x)有n重因式,其中n是多项式f(x)的次数.证明:若f'(x)|f(x),则f(x)有n重因式,其中n是f(x)的次数.或者证明:若f'(x)|f(x),且f(x)次数为n,则存在a,b使,f(x)=a(x-b)^n这么简单的题,
证明:若f'(x)|f(x),则f(x)有n重因式,其中n是多项式f(x)的次数.
证明:若f'(x)|f(x),则f(x)有n重因式,其中n是f(x)的次数.
或者证明:
若f'(x)|f(x),且f(x)次数为n,则存在a,b使,f(x)=a(x-b)^n
这么简单的题,难道没有人知道吗?
证明:若f'(x)|f(x),则f(x)有n重因式,其中n是多项式f(x)的次数.证明:若f'(x)|f(x),则f(x)有n重因式,其中n是f(x)的次数.或者证明:若f'(x)|f(x),且f(x)次数为n,则存在a,b使,f(x)=a(x-b)^n这么简单的题,
设
f(x)=a(x-a[1])(x-a[2])...(x-a[n])
那么
f(x)'=a[(x-a[2])(x-a[3])...(x-a[n])+(x-a[1])(x-a[3])...(x-a[n])+(x-a[1])(x-a[2])(x-a[4])...(x-a[n])+.+(x-a[1])(x-a[2])...(x-a[n-1])]
如果f(x)'|f(x)
我们考察f(x)'的次数,是n-1次,而且f(x)'的n-1次项的系数是n,所以可以设
(x-m)f(x)'=nf(x)
也就是
(x-m)f(x)'=na(x-a[1])(x-a[2])...(x-a[n])
所以必然m等于某个a[i]
不妨设m=a[1]
那么
(x-a[1])a[(x-a[2])(x-a[3])...(x-a[n])+(x-a[1])(x-a[3])...(x-a[n])+(x-a[1])(x-a[2])(x-a[4])...(x-a[n])+.+(x-a[1])(x-a[2])...(x-a[n-1])]=na(x-a[1])(x-a[2])...(x-a[n])
那么
[(x-a[1])(x-a[3])...(x-a[n])+(x-a[1])(x-a[2])(x-a[4])...(x-a[n])+.+(x-a[1])(x-a[2])...(x-a[n-1])]=(n-1)(x-a[2])(x-a[3])...(x-a[n])
左边每一项都能被(x-a[1])整除,所以右边(x-a[2]),...,(x-a[n])必然有一项满足a[j]=a[1]
不妨设是a[2]=a[1],那么利用a[1]=m我们有:
[(x-m)(x-a[3])...(x-a[n])+(x-m)(x-m)(x-a[4])...(x-a[n])+.+(x-m)(x-m)(x-a[3])...(x-a[n-1])]=(n-1)(x-m)(x-a[3])...(x-a[n])
那么
[(x-a[3])...(x-a[n])+(x-m)(x-a[4])...(x-a[n])+.+(x-m)(x-a[3])...(x-a[n-1])]=(n-1)(x-a[3])...(x-a[n])
那么
[(x-m)(x-a[4])...(x-a[n])+.+(x-m)(x-a[3])...(x-a[n-1])]=(n-2)(x-a[3])...(x-a[n])
现在左边每项可以被x-m整除,所有右边必然有一项,可以被x-m整除,不妨设a[3]=m.
然后.仿照上面的步骤,我们得到:
a[i]都是m
完毕.