如图,在△ABC中,∠B=60°,∠A,∠C的平分线AE.CF相交于点O.求证(1)OE=OF(2)AF+CE=AC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 12:49:28
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如图,在△ABC中,∠B=60°,∠A,∠C的平分线AE.CF相交于点O.求证(1)OE=OF(2)AF+CE=AC
如图,在△ABC中,∠B=60°,∠A,∠C的平分线AE.CF相交于点O.求证(1)OE=OF(2)AF+CE=AC
如图,在△ABC中,∠B=60°,∠A,∠C的平分线AE.CF相交于点O.求证(1)OE=OF(2)AF+CE=AC
证明:分别向边AB、BC、AC做垂线,垂点为M、N、O,连接BG.
因为∠B=60°,故又平分线AE、CF,则∠AGC=120°;
且垂线GM和GN,在四边形BMGN中,则∠MGN=180°-∠B=120°;
对角线AE和CF,则∠FGE=∠AGC;
于是有:∠FGM=∠FGE-∠MGE=∠MGN-∠MGE=∠EGN----------------(1);
角平分线点到两边距离公式得:GM=GN;------------(2);
∠FMG=∠GNE=90°-------------------------(3);
在三角形FMG和三角形GEN中,由(1)(2)(3)可知(边角边):
两个三角形全等,则FM=EN;——(0)
又CN=CO,AO=AM且AC=AO+OC;
又AM=AF+FM,即AF=AM-FM——(4);和CE=CN+EN——(5)
由(4)+(5)且(0)得:AF+CE=AM-FM+CN+EN=AM+CN=AO+OC=AC,即证得:
AF+CE=AC.
参考:
AE交CF于O
AE和CF分别为角A、角C的角平分线
∠AOF=∠OAC+∠OCA=(∠BAC+∠BCA)/2=(180-60)/2=60
∠AOC=180-∠AOF=180-60=120
过O作直线OG交AC于G,使∠AOG=∠AOF
则△AOF≌△AOG,AF=AG
△COE≌△COG,CE=CG
所以
AF+CE=AG+CG=AC