若关于x的不等式(2x-1)²<ax²的解集中的整数恰好有3个,则实数a的取值范围是
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 20:57:59
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若关于x的不等式(2x-1)²<ax²的解集中的整数恰好有3个,则实数a的取值范围是
若关于x的不等式(2x-1)²<ax²的解集中的整数恰好有3个,则实数a的取值范围是
若关于x的不等式(2x-1)²<ax²的解集中的整数恰好有3个,则实数a的取值范围是
g(x)=(2x-1)²是关于直线x=1/2对称的开口向上的抛物线,设f(x)=ax²,则本题就是f(x)的图像要比g(x)的图像高的x的整数值只有三个.作出两个函数的图像.发现:当x从1开始才希望,所以这三个整数应该是1,2,3.所以f(3)≥g(3)且f(4)
由原不等式可知a>0
将原不等式移项合并分解得:[X-(2+根号下a)/(4-a)]*[X-(2-根号下a)/4-a)]<0
于是它的解集为:......因为解集恰好有三个整数,所以根号下a也为整数,由解集可知后者大于前者,由此列式得出
∵0≤(2x-1)²<ax²,∴a>0
原不等式--->(2x-1)²-(bx)²=[(2+√a)x-1][(2-√a)x-1]<0
∵解集中的整数解为有限个(3个),
∴(2+√a)(2-√a)>0--->0<√a<2
--->不等式的解集为 M=(1/(2+√a),1/(2-√a)),其中恰有3个整数
∵2<...
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∵0≤(2x-1)²<ax²,∴a>0
原不等式--->(2x-1)²-(bx)²=[(2+√a)x-1][(2-√a)x-1]<0
∵解集中的整数解为有限个(3个),
∴(2+√a)(2-√a)>0--->0<√a<2
--->不等式的解集为 M=(1/(2+√a),1/(2-√a)),其中恰有3个整数
∵2<2+√a<4,
∴1/4<1/(2+√a)<1/2,即方程较小的根在1/4和1/2之间
∴如果M中恰有3个整数,则必为1、2、3
即:3<1/(2-√a)≤4
--->1/4≤2-√a<1/3
--->5/3<√a≤7/4
----->25/9<a≤49/16
收起
(25/9,49/16]
解答如下:
∵0≤(2x-1)²<ax²,∴a>0
原不等式可以转化为(2x-1)²<(√ax)²
所以不等式(2x-1)²<(√ax)²可以简化为
2x-1<√ax 且2x-1>-√ax 或者 2x-1>√ax 且2x-1<-√ax
所以 前者1/(2+√a)
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解答如下:
∵0≤(2x-1)²<ax²,∴a>0
原不等式可以转化为(2x-1)²<(√ax)²
所以不等式(2x-1)²<(√ax)²可以简化为
2x-1<√ax 且2x-1>-√ax 或者 2x-1>√ax 且2x-1<-√ax
所以 前者1/(2+√a)
可以转化为关于x的方程(2x-1)²=ax² 其较大解与较小解之差大于等于3却小于4
所以 3 ≤1/(-√a+2) -1/(2+√a)<4 或者 3 ≤1/(2+√a)-1/(-√a+2) <4
前者推出25/9<a≤49/16 后者-49/16≤a≤-25/9 与a>0矛盾
所以可以推断若关于x的不等式(2x-1)²<ax²的解集中的整数恰好有3个,则实数a的取值范围是
25/9<a≤49/16
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