已知在RT三角形ABO中角AOB=90度,OA=3,OB=4,设P为三角形ABO内切圆上的动点,求PA^2+PB^2+PO^2的最小值和最大
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 17:35:10
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已知在RT三角形ABO中角AOB=90度,OA=3,OB=4,设P为三角形ABO内切圆上的动点,求PA^2+PB^2+PO^2的最小值和最大
已知在RT三角形ABO中角AOB=90度,OA=3,OB=4,设P为三角形ABO内切圆上的动点,求PA^2+PB^2+PO^2的最小值和最大
已知在RT三角形ABO中角AOB=90度,OA=3,OB=4,设P为三角形ABO内切圆上的动点,求PA^2+PB^2+PO^2的最小值和最大
建立直角坐标系吧
以OB为x轴,OA为y轴
设点P坐标(x,y)
过P作PM垂直x轴于点M,作PN垂直y轴于点N
于是PA²=AN²+PN²=(3-y)²+x²
PB²=PM²+BM²=y²+(4-x)²
PO²=PM²+OM²=y²+x²
所以PA^2+PB^2+PO^2=(3-y)²+x²+y²+(4-x)²+y²+x²=3x²+3y²-6y-8x+25=3x²+3(y-1)²-8x+22 ①
继续求的三角形OAB内切圆方程为(x-1)²+(y-1)²=1,就是有(y-1)²=1-(x-1)²代入①
就是PA^2+PB^2+PO^2=3x²+3【1-(x-1)²】-8x+22 =22-2x,显然x取值范围是0≤x≤2
所以最大最小就知道了呀
是22和18
建立坐标,用坐标法很好做
以OA为x轴,OB为y轴建立直角坐标系,故A(0,3)、B(4,0),
设三角形ABO内切圆方程(x-m)²+(y-m)²=m²,
又因(4-m)+(3-m)=√(3²+4²),得m=1
故:内切圆方程(x-1)²+(y-1)²=1
设点P坐标(x,y),
则:PA²=(3-y)...
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以OA为x轴,OB为y轴建立直角坐标系,故A(0,3)、B(4,0),
设三角形ABO内切圆方程(x-m)²+(y-m)²=m²,
又因(4-m)+(3-m)=√(3²+4²),得m=1
故:内切圆方程(x-1)²+(y-1)²=1
设点P坐标(x,y),
则:PA²=(3-y)²+x²
PB²=y²+(4-x)²
PO²=y²+x²
故:PA^2+PB^2+PO^2=(3-y)²+x²+y²+(4-x)²+y²+x²=3x²+3y²-6y-8x+25
将(x-1)²+(y-1)²=1代入得:PA^2+PB^2+PO^2=22-2x,因0≤x≤2
故:x=0时22-2x最大为22,x=,2时22-2x最小为18.
所以:PA^2+PB^2+PO^2的最小值18和最大值22.
祝你谢谢快乐!
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