试求不大于100,且使3的n次方+7的n次方+4能被11整除的所有自然数n的和.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 18:40:36
![试求不大于100,且使3的n次方+7的n次方+4能被11整除的所有自然数n的和.](/uploads/image/z/1016932-4-2.jpg?t=%E8%AF%95%E6%B1%82%E4%B8%8D%E5%A4%A7%E4%BA%8E100%2C%E4%B8%94%E4%BD%BF3%E7%9A%84n%E6%AC%A1%E6%96%B9%2B7%E7%9A%84n%E6%AC%A1%E6%96%B9%2B4%E8%83%BD%E8%A2%AB11%E6%95%B4%E9%99%A4%E7%9A%84%E6%89%80%E6%9C%89%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0n%E7%9A%84%E5%92%8C.)
试求不大于100,且使3的n次方+7的n次方+4能被11整除的所有自然数n的和.
试求不大于100,且使3的n次方+7的n次方+4能被11整除的所有自然数n的和.
试求不大于100,且使3的n次方+7的n次方+4能被11整除的所有自然数n的和.
3的次方、7的次方对11的余数,分别有5次一循环、10次一循环的规律
3\x099\x0927\x0981\x09243\x09729\x092187\x09……
3\x099\x095\x094\x091\x093\x099\x09……
7\x0949\x09343\x092401\x0916807\x09117649\x09823543\x09……
7\x095\x092\x093\x0910\x094\x096\x099\x098\x091
则对N从1开始每10个数一循环,
3的n次方+7的n次方 被11除的余数分别为:
10\x093\x097\x097\x090\x097\x094\x093\x091\x092…
3的n次方+7的n次方+4被11除的余数分别为:
3\x097\x090\x090\x094\x090\x098\x097\x095\x096…
则当N = 10K + 3、10K+4、10K+6时,整除.
即所有符合的自然数N的和
= 3+4+6+13+14+16+……+93+94+96
= (3+……+93)+(4+……+94)+(6+……+96)
= 480+490+510
= 1480
当n=1时,3的n次方+7的n次方+4=3+7+4=14,可以被7整除;
当n=2时,3的n次方+7的n次方+4=3²+7²+4=63,可以被7整除;
当n=3时,3的n次方+7的n次方+4=3³+7³+4>100
则满足题目的n的值是n=1或n=2