设函数F(x)=AX²+BX+C(A不等于零)中,A和B和C均为整数,且F(0),F(1)均为奇数,求证:F(X)=0无整数根
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 13:49:06
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设函数F(x)=AX²+BX+C(A不等于零)中,A和B和C均为整数,且F(0),F(1)均为奇数,求证:F(X)=0无整数根
设函数F(x)=AX²+BX+C(A不等于零)中,A和B和C均为整数,且F(0),F(1)均为奇数,求证:F(X)=0无整数根
设函数F(x)=AX²+BX+C(A不等于零)中,A和B和C均为整数,且F(0),F(1)均为奇数,求证:F(X)=0无整数根
假设f(x)=0有实数根,并设其为x1
由已知:
f(0)=c为奇数
f(1)=a+b+c为奇数
所以a+b为偶数
a、b为两奇数或者两偶数
当a、b为两偶数时,ax1^2+bx1为偶数,显然不等于-c,即ax^2+bx+c≠0
当a、b为两奇数且x1不为偶数时,ax1^2为奇数,bx1也为奇数,ax1^2+bx1为偶数,也不等于-c,
即ax^2+bx+c≠0
当a、b为两奇数且x1为偶数时,ax1^2+bx1为偶数,
显然不等于-c,即ax^2+bx+c≠0
综上所述,当f(x)=0有实数根成立时,与所设条件矛盾,故f(x)=0无实数根
由题意C为奇数
A+B+C位奇数
所以A+B为偶数 则A和B同奇同偶
反证法
设F(X)=0有整数根
则x为奇数或偶数
又因为x^2和x同奇同偶
对应代入
则AX²+BX就是同奇同偶两队数相乘再相加
(共4种搭配
奇*偶+偶*奇
奇*奇+奇*奇
偶*奇+奇*偶
偶*偶+偶*偶)
全部展开
由题意C为奇数
A+B+C位奇数
所以A+B为偶数 则A和B同奇同偶
反证法
设F(X)=0有整数根
则x为奇数或偶数
又因为x^2和x同奇同偶
对应代入
则AX²+BX就是同奇同偶两队数相乘再相加
(共4种搭配
奇*偶+偶*奇
奇*奇+奇*奇
偶*奇+奇*偶
偶*偶+偶*偶)
其和都为偶数再加奇数C应为奇数
而0为偶数
矛盾
不懂再问
收起
F(0)=c为奇数
所以C为奇数
F(1)=A+B+C为奇数
∵C为奇数
所以A、B全为偶数或A、B全为奇数
设F(X)=0有整数根
则AX²+BX为偶数
结合C为奇数
AX²+BX+C不等于0
与假设产生矛盾,固F(X)=0有整数根不成立
所以F(X)=0无整数根
答案见图片,如果有不明白,可以留言~~~