已知函数y=f(x)=-根号3/(3^x+根号3),求证函数f(x)图像关于点(1/2,-1/2)对称
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 16:20:45
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已知函数y=f(x)=-根号3/(3^x+根号3),求证函数f(x)图像关于点(1/2,-1/2)对称
已知函数y=f(x)=-根号3/(3^x+根号3),求证函数f(x)图像关于点(1/2,-1/2)对称
已知函数y=f(x)=-根号3/(3^x+根号3),求证函数f(x)图像关于点(1/2,-1/2)对称
在y=f(x)图像上任取点(x0,y0),有:y0=-√3/(3^x0+√3)
(x0,y0)关于(1/2,-1/2)的对称点为(1-x0,-1-y0)
--->-1-y0 = √3/(3^x0+√3) - 1
= (-3^x0)/(3^x0+√3)
= (-1)/[1+√3•3^(-x0)]
= (-√3)/[√3+3^(1-x0)]
= f(1-x0)
即:对称点(1-x0,-1-y0)也在y=f(x)图像上
--->函数y=f(x)的图像关于点(1/2,-1/2)对称
即需要证明-f(1/2-x)+(-1/2)=f(1/2+x)-(-1/2)
f(1/2-x)+f(1/2+x)=-1
-根号3/(3^(1/2-x)+根号3) -根号3/(3^(1/2+x)+根号3)=-1
1/(3^-x+1)+1/(3^x+1)=1
3^x/(3^x+1)+1/(3^x+1)=1
成立,得证。
证函数f(x)图像关于点(1/2,-1/2)对称
即证明:f(1/2-x)+f(1/2+x)=-1/2*2=-1
代入验证即可
f(1/2-x)=-3^1/2*3^x/(3^1/2+3^(x+1/2))
f(1/2+x)=-3^1/2/(3^1/2+3^(x+1/2))
两式子相加
f(1/2-x)+f(1/2+x)=-1/2*2=-1
结论得证