已知函数f(x)=ln(x+根号1+x^2)1)求证函数为奇函数 2)求证函数在定义域内是增函数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 18:05:53
![已知函数f(x)=ln(x+根号1+x^2)1)求证函数为奇函数 2)求证函数在定义域内是增函数](/uploads/image/z/1043697-57-7.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dln%28x%2B%E6%A0%B9%E5%8F%B71%2Bx%5E2%291%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B8%BA%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0+2%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E5%86%85%E6%98%AF%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0)
已知函数f(x)=ln(x+根号1+x^2)1)求证函数为奇函数 2)求证函数在定义域内是增函数
已知函数f(x)=ln(x+根号1+x^2)
1)求证函数为奇函数 2)求证函数在定义域内是增函数
已知函数f(x)=ln(x+根号1+x^2)1)求证函数为奇函数 2)求证函数在定义域内是增函数
1)f(x)=ln(x+根号1+x^2)
f(-x)=ln(-x+根号1+x^2)
=ln1/(x+根号1+x^2)
=-ln(x+根号1+x^2)
=-f(x)
所以
根据奇函数的定义,得
函数是奇函数.
2)
f'(x)=1/[x+√(1+x平方)] ·[x+√(1+x平方)] ’
=1/[x+√(1+x平方)] [1+x/√(1+x平方)]
=1/[x+√(1+x平方)] [(x+√(1+x平方))/√(1+x平方)]
=1/√(1+x平方)
>0
从而
函数在其定义域内是增函数.
应该紧扣奇函数定义 f(-x)=ln(-x+根号1+x^2)=ln(-x+根号1+x^2)(x+根号1+x^2)/(x+根号1+x^2)=ln1/(x+根号1+x^2)=ln(x+根号1+x^2)^-1=-ln(x+根号1+x^2)=-f(x).由奇函数定义可知f(x)是奇函数。 这一小节的关键在于分母有理化的那一步,分子、分母有根...
全部展开
应该紧扣奇函数定义 f(-x)=ln(-x+根号1+x^2)=ln(-x+根号1+x^2)(x+根号1+x^2)/(x+根号1+x^2)=ln1/(x+根号1+x^2)=ln(x+根号1+x^2)^-1=-ln(x+根号1+x^2)=-f(x).由奇函数定义可知f(x)是奇函数。 这一小节的关键在于分母有理化的那一步,分子、分母有根号的时候,感觉无从下手的时候,分母有理化是个不错的选择。 2.易知f(x)的定义域是R。用第一问的结论,只需证明函数在[0,正无穷)上递增即可。 可以用复合函数的调调性来解决。g(x)=根号1+x^2在[0,正无穷)上是增函数,h(x)=x在[0,正无穷)上也是增函数,I(x)=lnx在[0,正无穷)也是增函数,又复合函数的单调性易知f(x)在[0,正无穷)也是增函数,由奇函数的性质易知它在R上也是递增的。 用复合函数知识来解答的优点是计算量相对较少。用导数法或者定义法的话计算量就比较大。
收起