有关积分的证明题
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 11:55:03
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有关积分的证明题
有关积分的证明题
有关积分的证明题
由第二个式子,有 1/k = \int |t^{k-1}| dt
\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}/k (代入上式)
= \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \int_{-1}^{0} |t^{k-1}| dt (交换积分和求和符号)
= \int_{-1}^{0} \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} |t^{k-1}| dt (对k分奇偶讨论)
= \int_{-1}^{0} \sum_{k=1}^{n} t^{k-1} dt (使用第一个式子)
= \int_{-1}^{0} (1-t^n)/(1-t) dt
= \int_{-1}^{0} 1/(1-t) dt - \int_{-1}^{0} t^n/(1-t) dt
= \int_{1}^{2} 1/u du - (-1)^n/(n+1)
= ln2-ln1-(-1)^n/(n+1)
= ln2 - (-1)^n/(n+1)
令n趋向于无穷,右边等于 ln2