高数证明(中值定理学得好的瞧瞧!)设f(x)在[a,b]上连续,且二阶可导,证明对任意的c属于(a,b),总存在ζ属于(a,b),使得f’’(ζ)/2=f(a)/[(a-b)(a-c)]+f(b)/[(b-a)(b-c)]+f(c)/[(c-a)(c-b)]成立强人证之!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 12:12:10
![高数证明(中值定理学得好的瞧瞧!)设f(x)在[a,b]上连续,且二阶可导,证明对任意的c属于(a,b),总存在ζ属于(a,b),使得f’’(ζ)/2=f(a)/[(a-b)(a-c)]+f(b)/[(b-a)(b-c)]+f(c)/[(c-a)(c-b)]成立强人证之!](/uploads/image/z/11578818-66-8.jpg?t=%E9%AB%98%E6%95%B0%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%88%E4%B8%AD%E5%80%BC%E5%AE%9A%E7%90%86%E5%AD%A6%E5%BE%97%E5%A5%BD%E7%9A%84%E7%9E%A7%E7%9E%A7%21%EF%BC%89%E8%AE%BEf%28x%29%E5%9C%A8%5Ba%2Cb%5D%E4%B8%8A%E8%BF%9E%E7%BB%AD%2C%E4%B8%94%E4%BA%8C%E9%98%B6%E5%8F%AF%E5%AF%BC%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8F%E7%9A%84c%E5%B1%9E%E4%BA%8E%28a%2Cb%29%2C%E6%80%BB%E5%AD%98%E5%9C%A8%CE%B6%E5%B1%9E%E4%BA%8E%28a%2Cb%29%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97f%E2%80%99%E2%80%99%28%CE%B6%29%2F2%3Df%28a%29%2F%5B%28a-b%29%28a-c%29%5D%2Bf%28b%29%2F%5B%28b-a%29%28b-c%29%5D%2Bf%28c%29%2F%5B%28c-a%29%28c-b%29%5D%E6%88%90%E7%AB%8B%E5%BC%BA%E4%BA%BA%E8%AF%81%E4%B9%8B%21)
高数证明(中值定理学得好的瞧瞧!)设f(x)在[a,b]上连续,且二阶可导,证明对任意的c属于(a,b),总存在ζ属于(a,b),使得f’’(ζ)/2=f(a)/[(a-b)(a-c)]+f(b)/[(b-a)(b-c)]+f(c)/[(c-a)(c-b)]成立强人证之!
高数证明(中值定理学得好的瞧瞧!)
设f(x)在[a,b]上连续,且二阶可导,证明
对任意的c属于(a,b),总存在ζ属于(a,b),使得
f’’(ζ)/2=f(a)/[(a-b)(a-c)]+f(b)/[(b-a)(b-c)]+f(c)/[(c-a)(c-b)]
成立
强人证之!
高数证明(中值定理学得好的瞧瞧!)设f(x)在[a,b]上连续,且二阶可导,证明对任意的c属于(a,b),总存在ζ属于(a,b),使得f’’(ζ)/2=f(a)/[(a-b)(a-c)]+f(b)/[(b-a)(b-c)]+f(c)/[(c-a)(c-b)]成立强人证之!
证明:
用Lagrange插值公式:
令F(x)=f(x)-g(x)
其中g(x)是由(a,f(a))、(b,f(b))、(c,f(c))三个点确定的抛物线,
写成二次的Lagrange插值多项式形式:
g(x)=
f(a)[(x-b)(x-c)]/[(a-b)(a-c)]
+f(b)[(x-a)(x-c)]/[(b-a)(b-c)]
+f(c)[(x-a)(x-b)]/[(c-a)(c-b)]
那么显然有F(a)=F(b)=F(c)=0
利用洛尔定理:
在(a,c)中存在θ1,使得F'(θ1)=0
在(c,b)中存在θ2,使得F'(θ2)=0
在(θ1,θ2)中存在ζ,使得F''(ζ)=0
F''(x)=f''(x)-g''(x)
=f''(x)-2f(a)/[(a-b)(a-c)]-2f(b)/[(b-a)(b-c)]-2f(c)/[(c-a)(c-b)]
把x=ζ代入即得:
f''(ζ)/2=f(a)/[(a-b)(a-c)]+f(b)/[(b-a)(b-c)]+f(c)/[(c-a)(c-b)]
证毕!