在半径为R的半圆内作一个内接绨形,梯形底是圆的直径,其它三边为半圆的弦,问当梯形的上底多少时,面积最大
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 13:02:43
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在半径为R的半圆内作一个内接绨形,梯形底是圆的直径,其它三边为半圆的弦,问当梯形的上底多少时,面积最大
在半径为R的半圆内作一个内接绨形,梯形底是圆的直径,其它三边为半圆的弦,问当梯形的上底多少时,面积最大
在半径为R的半圆内作一个内接绨形,梯形底是圆的直径,其它三边为半圆的弦,问当梯形的上底多少时,面积最大
令ABCD是⊙O的内接梯形,且AB是直径.
很明显,AB>DC[同圆的弦,直径最大].
∴由同圆中平行线所夹的弦相等,有:AD、BC不平行,而ABCD是梯形,∴DC∥AB,
∴AD=BC.
分别过C、D作AB的垂线,垂足分别是E、F.
∵DC∥FE、DF⊥FE、CE⊥FE,∴CDFE是矩形,∴FE=DC.
∵CDFE是矩形,∴DF=CE,又AD=BC、∠AFD=∠BEC=90°,∴AF=BE,而OA=OB,
∴OF=OE=FE/2=DC/2.
令DC=x,则OF=x/2.
显然有:OD=R,∴由勾股定理,有:DF=√(OD^2-OF^2)=√(R^2-x^2/4).
∴梯形ABCD的面积
=(1/2)(DC+AB)×DF=(1/2)(x+2R)√(R^2-x^2/4)
=(1/4)√[(2R+x)^2(4R^2-x^2)]
=(1/4)√[(2R+x)^3(2R-x)]
=(3√3/4)√{[(2R+x)/3][(2R+x)/3][(2R+x)/3](2R-x)}.
很明显,(2R+x)/3、(2R-x)都是正数,
∴由均值不等式,有:
4{[(2R+x)/3][(2R+x)/3][(2R+x)/3](2R-x)}^(1/4)
≦(2R+x)/3+(2R+x)/3+(2R+x)/3+(2R-x)=4R.
∴√{{[(2R+x)/3][(2R+x)/3][(2R+x)/3](2R-x)}≦R^2.
∴当(2R+x)/3=2R-x 时,梯形ABCD有最大值为 3√3R^2/4.
由(2R+x)/3=2R-x,得:2R+x=6R-3x,∴4x=4R,∴x=R,∴DC=R.
即:当此梯形的上底为R时,面积最大.