已知圆的半径为根号10,圆心在直线Y=2X上,圆被直线X-Y=0截得弦长为4倍根号2,求圆的方程.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 19:37:28
![已知圆的半径为根号10,圆心在直线Y=2X上,圆被直线X-Y=0截得弦长为4倍根号2,求圆的方程.](/uploads/image/z/1535046-6-6.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%9C%86%E7%9A%84%E5%8D%8A%E5%BE%84%E4%B8%BA%E6%A0%B9%E5%8F%B710%2C%E5%9C%86%E5%BF%83%E5%9C%A8%E7%9B%B4%E7%BA%BFY%3D2X%E4%B8%8A%2C%E5%9C%86%E8%A2%AB%E7%9B%B4%E7%BA%BFX-Y%3D0%E6%88%AA%E5%BE%97%E5%BC%A6%E9%95%BF%E4%B8%BA4%E5%80%8D%E6%A0%B9%E5%8F%B72%2C%E6%B1%82%E5%9C%86%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B.)
已知圆的半径为根号10,圆心在直线Y=2X上,圆被直线X-Y=0截得弦长为4倍根号2,求圆的方程.
已知圆的半径为根号10,圆心在直线Y=2X上,圆被直线X-Y=0截得弦长为4倍根号2,求圆的方程.
已知圆的半径为根号10,圆心在直线Y=2X上,圆被直线X-Y=0截得弦长为4倍根号2,求圆的方程.
设圆心为O(x,2x),弦为AB,过圆心作弦的垂线OD交AB于D,
则Rt△中,OA=√10,AD=2√2,所以OD=√2,
即O到直线X-Y=0的距离为√2,
由点到直线距离公式|x-2x|/√1+1 = √2,x=正负2,
圆为(x-2)^2+(y-4)^2=10或(x+2)^2+(y+4)^2=10
由圆心在直线y=2x上,可设圆心坐标为(a,2a),再由圆的半径为根号10得圆的方程为
(x-a)^2+(y-2a)^2=10
由圆被直线x-y=0截得弦长为4倍根号2,将y=x代入上式得
(x-a)^2+(x-2a)^2=10
即:2x^2-6ax+5a^2-10=0
由韦达定理
x1+x2=3a
x1*x2=(5a^2-10)/2
全部展开
由圆心在直线y=2x上,可设圆心坐标为(a,2a),再由圆的半径为根号10得圆的方程为
(x-a)^2+(y-2a)^2=10
由圆被直线x-y=0截得弦长为4倍根号2,将y=x代入上式得
(x-a)^2+(x-2a)^2=10
即:2x^2-6ax+5a^2-10=0
由韦达定理
x1+x2=3a
x1*x2=(5a^2-10)/2
从而
(x1-x2)^2=20-a^2
(y1-y2)^2=(x1-x2)^2=20-a^2
这样有2(20-a^2)=32
得a=2或a=-2
所以圆的方程为
(x-4)^2+(y-4)^2=10或(x+4)^2+(y+4)^2=10。
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