已知等腰直角三角形ABC内一点到三个顶点P的距离分别是PB=1、PC=2、PA=3,其中C为直角顶点.求角BPC的度已知等腰直角三角形ABC内一点到三个顶点P的距离分别是PB=1、PC=2、PA=3,其中C为直
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 04:03:44
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已知等腰直角三角形ABC内一点到三个顶点P的距离分别是PB=1、PC=2、PA=3,其中C为直角顶点.求角BPC的度已知等腰直角三角形ABC内一点到三个顶点P的距离分别是PB=1、PC=2、PA=3,其中C为直
已知等腰直角三角形ABC内一点到三个顶点P的距离分别是PB=1、PC=2、PA=3,其中C为直角顶点.求角BPC的度
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已知等腰直角三角形ABC内一点到三个顶点P的距离分别是PB=1、PC=2、PA=3,其中C为直角顶点.求角BPC的度已知等腰直角三角形ABC内一点到三个顶点P的距离分别是PB=1、PC=2、PA=3,其中C为直
做CD⊥AB于点D
以AB为x轴 CD为y轴
设p点坐标为(x,y),DA=DB=DC=a
那么
①(a+x)² + y² = 9
②(a-y)² + x² = 4
③(a-x)² + y² = 1
由①③可得 ax = 2 所以 x = 2/a
由②③可得 2ax-2ay=3 所以y= 1/2a
代入①
4a^4 -20a^2 +17 = 0
a = √[(5+2√2)/2]
那么BC = √(5+2√2)
cos∠BPC = (BC² - BP² - CP² ) / (-2·BP·CP)
=(5+2√2 - 1 - 4) / 4 = - √2 / 2
所以∠BPC=Artcos (-√2 / 2)= 135°
以C为顶点,将△CPA旋转90°,使得B与A重合,P移动后为P'.连PP'.
则CP=CP',AP'=BP,∠PCP'=90°.
∴△PCP'为等腰直角三角形,PP'=2√2,∠CPP'=45°.
易验证 PP'^2+P‘B^2=P‘B^2,所以∠BPP’=90°.
从而∠BPC=∠BPP'+∠CPP'=45°+90°=135°