把2001拆成若干个自然数的和,使这些自然数的乘积尽量大,应如何拆?1快
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 18:41:47
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把2001拆成若干个自然数的和,使这些自然数的乘积尽量大,应如何拆?1快
把2001拆成若干个自然数的和,使这些自然数的乘积尽量大,应如何拆?1快
把2001拆成若干个自然数的和,使这些自然数的乘积尽量大,应如何拆?1快
因为6=2+2+2=3+3
而2的3次方小于3的2次方
所以应该把2001尽量拆成最多个数的3的和与最少的个数的2的和
而2001/3=667
所以应该把2001拆成667个3的和.
2的1000次方*1
绝对超大
答案是3^667
要解这道题的话,要用到高等微积分的知识
过程如下:
不妨先忽略掉自然数这个条件,即假设可将2001拆分成多个任意实数的和。然后可以证明,只有当2001拆分出来的数都相等时,才可能使得它们的乘积最大,这一点可以根据“基本不等式”得出,即若x+y=a,则xy≤(x²+y²)/2,当且仅当x=y=a/2时等号成立,同样的结论也适合于把a分...
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答案是3^667
要解这道题的话,要用到高等微积分的知识
过程如下:
不妨先忽略掉自然数这个条件,即假设可将2001拆分成多个任意实数的和。然后可以证明,只有当2001拆分出来的数都相等时,才可能使得它们的乘积最大,这一点可以根据“基本不等式”得出,即若x+y=a,则xy≤(x²+y²)/2,当且仅当x=y=a/2时等号成立,同样的结论也适合于把a分为三个数、四个数.....、乃至n个数的情况,意思就是:“如果把一个数分成几个数的和,那么当这几个数相等时,它们的乘积最大”。因此,2001拆分出来的数必须相等才行。
这一步之后,问题实际上转化为:“将2001拆分为N个相等的实数x,求x取何值时x^N最大”
由题意,N=2001/x
令y=x^(2001/x),要求的就是x为何值时,y最大
两边取对数,得到:lny=(2001/x)lnx
两边求导数,得到:
y’=(2001/x²)(1-lnx)·y【其中y=x^(2001/x)】
当y’=0的时候,y取得最大值,此时1-lnx=0,即x=e≈2.7182818283....
但是题目要求的是自然数,容易看到,与e最接近的自然数就是3
因此,答案就是将2001拆分为667个3的时候,它们的乘积最大
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