有关一个数列的公式计算.1+(1+2)+(1+2+3)+.(1+2+3+.+n)为什么=n(n+1)(n+2)/6...
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 12:45:42
![有关一个数列的公式计算.1+(1+2)+(1+2+3)+.(1+2+3+.+n)为什么=n(n+1)(n+2)/6...](/uploads/image/z/2704661-53-1.jpg?t=%E6%9C%89%E5%85%B3%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%95%B0%E5%88%97%E7%9A%84%E5%85%AC%E5%BC%8F%E8%AE%A1%E7%AE%97.1%2B%EF%BC%881%2B2%EF%BC%89%2B%EF%BC%881%2B2%2B3%EF%BC%89%2B.%EF%BC%881%2B2%2B3%2B.%2Bn%EF%BC%89%E4%B8%BA%E4%BB%80%E4%B9%88%3Dn%28n%2B1%29%28n%2B2%29%2F6...)
有关一个数列的公式计算.1+(1+2)+(1+2+3)+.(1+2+3+.+n)为什么=n(n+1)(n+2)/6...
有关一个数列的公式计算.
1+(1+2)+(1+2+3)+.(1+2+3+.+n)为什么=n(n+1)(n+2)/6...
有关一个数列的公式计算.1+(1+2)+(1+2+3)+.(1+2+3+.+n)为什么=n(n+1)(n+2)/6...
chennan917 的解答是正确的,我再给你1种有趣的解法,
把1+(1+2)+(1+2+3)+...(1+2+3+...+n)看成一个数列的和.
其通项为an=1+2+3+...+n=(1+n)n/2=(n*n+n)/2=(1/2)(n^2+n)
那么1+(1+2)+(1+2+3)+...(1+2+3+...+n)
=(1/2)[(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)]
再来求1^2+2^2+3^2+...+n^2的值.
想像一个有圆圈构成的正三角形,
第一行1个圈,圈内的数字为1
第二行2个圈,圈内的数字都为2,
以此类推
第n行n个圈,圈内的数字都为n,
我们要求的平方和,就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和.设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度,得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度,得到第三个三角形
然后,将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加,
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢,这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
那么:1+(1+2)+(1+2+3)+.(1+2+3+.+n)
=(1/2)[(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)]
=(1/2)[n(n+1)(2n+1)/6+(1+n)n/2]
=(1/2)[n(n+1)/6][(2n+1)+3]
=n(n+1)(n+2)/6
因为每项都是从1加到n的,所以
这个数列的通项an=(1+n)*n/2=(n^2+n)/2
所以2an=n^2+n
可以看成两个数列相加 即2an=bn+cn
bn=n^2 即S(bn)=1^2+2^2+```n^2
前n项和S(bn)=n*(n+1)*(2n+1)/6 这是公式,希望你记住,很有用的,也可以证明。
前n项和S(c...
全部展开
因为每项都是从1加到n的,所以
这个数列的通项an=(1+n)*n/2=(n^2+n)/2
所以2an=n^2+n
可以看成两个数列相加 即2an=bn+cn
bn=n^2 即S(bn)=1^2+2^2+```n^2
前n项和S(bn)=n*(n+1)*(2n+1)/6 这是公式,希望你记住,很有用的,也可以证明。
前n项和S(cn)=(1+n)*n/2
S(2an)=S(bn)+S(cn)=n*(n+1)*(2n+1)/6 + (1+n)*n/2 = n(n+1)(n+2)/3
S(an)=n(n+1)(n+2)/6
收起