证明二元函数不可微设f(x,y)=xy/√x^2+y^2,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)证明f(x,y)在点(0,0)不可微.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 18:35:39
![证明二元函数不可微设f(x,y)=xy/√x^2+y^2,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)证明f(x,y)在点(0,0)不可微.](/uploads/image/z/3503833-25-3.jpg?t=%E8%AF%81%E6%98%8E%E4%BA%8C%E5%85%83%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E5%BE%AE%E8%AE%BEf%28x%2Cy%29%3Dxy%2F%E2%88%9Ax%5E2%2By%5E2%2C%28x%2Cy%29%E2%89%A0%280%2C0%290%2C%28x%2Cy%29%3D%280%2C0%29%E8%AF%81%E6%98%8Ef%28x%2Cy%29%E5%9C%A8%E7%82%B9%280%2C0%29%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E5%BE%AE.)
证明二元函数不可微设f(x,y)=xy/√x^2+y^2,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)证明f(x,y)在点(0,0)不可微.
证明二元函数不可微
设f(x,y)=xy/√x^2+y^2,(x,y)≠(0,0)
0,(x,y)=(0,0)
证明f(x,y)在点(0,0)不可微.
证明二元函数不可微设f(x,y)=xy/√x^2+y^2,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)证明f(x,y)在点(0,0)不可微.
先求偏导数:
fx
=lim(△x→0) [f(0+△x,0)-f(0,0)] / △x
=0
fy
=lim(△y→0) [f(0,0+△y)-f(0,0)] / △y
=0
再求全增量
△f
=f(0+△x,0+△y)-f(0,0)
=△x△y / √(△x^2+△y^2)
反证法,假设f在(0,0)可微,那么必有:
△f=0△x+0△y+0△x+[△x / √(△x^2+△y^2)]△y
但是,
lim[(△x,△y)→(0,0)] △x / √(△x^2+△y^2)并不等于零(△x=△y即得出极限为1/2)
这与可微是矛盾的
因此,f在(0,0)处是不可微的
有不懂欢迎追问
记f关于x的偏导数为fx(*,*),f在关于y的偏导数为fy(*,*),r为√dx^2+dy^2。则
由偏导数的定义,可以求得fx(0,0)等于0,就是[f(dx,0)-f(0,0)]/dx当dx趋于0的时候的极限是0。同理可得f在(0,0)点关于y的偏导数也等于0。
若函数f在远点可微,则按可微的定义,应有
f(dx,dy)-f(0,0)-[fx(0,0)dx+fy(0,...
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记f关于x的偏导数为fx(*,*),f在关于y的偏导数为fy(*,*),r为√dx^2+dy^2。则
由偏导数的定义,可以求得fx(0,0)等于0,就是[f(dx,0)-f(0,0)]/dx当dx趋于0的时候的极限是0。同理可得f在(0,0)点关于y的偏导数也等于0。
若函数f在远点可微,则按可微的定义,应有
f(dx,dy)-f(0,0)-[fx(0,0)dx+fy(0,0)dy]=dxdy/r
考察(dxdy/r)/r在dx,dy同时趋于0时的极限,即dxdy/r^2在dx,dy同时趋于0时的极限。
而这个极限很容易证明是不存在的(简单点来说就是令dy=kdx,k就是直线的斜率,代进去就知道极限与k有关)
从而,f在原点不可微。
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