已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1(1)求函数的单调区间(2)若f(x)≤0恒成立,求实数k的取值范围(3)证明(ln2)/3+(ln3)/4+(ln4)/5+…+(lnn)/n+1<n(n-1)/4(n∈N+且n>1)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 04:33:28
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已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1(1)求函数的单调区间(2)若f(x)≤0恒成立,求实数k的取值范围(3)证明(ln2)/3+(ln3)/4+(ln4)/5+…+(lnn)/n+1<n(n-1)/4(n∈N+且n>1)
已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1
(1)求函数的单调区间
(2)若f(x)≤0恒成立,求实数k的取值范围
(3)证明(ln2)/3+(ln3)/4+(ln4)/5+…+(lnn)/n+1<n(n-1)/4(n∈N+且n>1)
已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1(1)求函数的单调区间(2)若f(x)≤0恒成立,求实数k的取值范围(3)证明(ln2)/3+(ln3)/4+(ln4)/5+…+(lnn)/n+1<n(n-1)/4(n∈N+且n>1)
(1)f’ (x)=1/(x-1) -k (x>1)
当k≤0时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)单调递增
即f'(x)的增区间为(1,+∞) 无减区间
当k0,不满足题意
当k>0时,由(1)知,f(x)有极大值也是最大值f(1+1/k)=ln(1/k)
∵f(x)≤0恒成立
∴只需f(x)的最大值ln(1/k)≤0 解得k≥1
综上,k∈[1,+∞)
(3)取k=1,由(2)知f(x)=ln(x-1)-x+2≤0恒成立
ln(x-1)≤x-2 ln(x-1) /x ≤(x-2)/x
令x=n+1,则(lnn)/(n+1)≤(n-1)/(n+1)<(n-1)/2
∴ (ln2)/3+(ln3)/4+(ln4)/5+…+(lnn)/n+1
<1/2+2/2+3/2+…+(n-1)/2
=1/2[1+2+3+…+(n-1)]
=n(n-1)/4
原命题得证.