证明抛物线的通径的两个端点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值设直线l与抛物线y^2=2px(p>0)交于A、B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点)求证:(1)A、B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 20:30:21
![证明抛物线的通径的两个端点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值设直线l与抛物线y^2=2px(p>0)交于A、B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点)求证:(1)A、B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是](/uploads/image/z/4329602-26-2.jpg?t=%E8%AF%81%E6%98%8E%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF%E7%9A%84%E9%80%9A%E5%BE%84%E7%9A%84%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E7%AB%AF%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%A8%AA%E5%9D%90%E6%A0%87%E4%B9%8B%E7%A7%AF%2C%E7%BA%B5%E5%9D%90%E6%A0%87%E4%B9%8B%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%88%AB%E9%83%BD%E6%98%AF%E5%AE%9A%E5%80%BC%E8%AE%BE%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E4%B8%8E%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BFy%5E2%3D2px%28p%3E0%29%E4%BA%A4%E4%BA%8EA%E3%80%81B%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E4%B8%94OA%E2%8A%A5OB%EF%BC%88O%E4%B8%BA%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%8E%9F%E7%82%B9%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%EF%BC%881%EF%BC%89A%E3%80%81B%E4%B8%A4%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%A8%AA%E5%9D%90%E6%A0%87%E4%B9%8B%E7%A7%AF%2C%E7%BA%B5%E5%9D%90%E6%A0%87%E4%B9%8B%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%88%AB%E9%83%BD%E6%98%AF)
证明抛物线的通径的两个端点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值设直线l与抛物线y^2=2px(p>0)交于A、B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点)求证:(1)A、B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是
证明抛物线的通径的两个端点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值
设直线l与抛物线y^2=2px(p>0)交于A、B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点)求证:
(1)A、B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值.
(2)直线AB经过一个定点.
证明抛物线的通径的两个端点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值设直线l与抛物线y^2=2px(p>0)交于A、B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点)求证:(1)A、B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是
1)
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则:y1^2=2px1,y2^2=2px2
(y1y2)^2=4p^2x1x2
而由OA⊥OB,知,y1/x1*y2/x2=-1
y1y2=-x1x2
所以,
(x1x2)^2=4p^2x1x2
x1x2=4p^2
y1y2=-x1x2=-4p^2
所以,A、B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值.
2)
y2^2-y1^2=2p(x2-x1)
AB斜率=(y2-y1)/(x2-x1)=2p/(y2+y1)
AB直线方程为:y=2p(x-x1)/(y2+y1)+y1
y(y2+y1)-2p(x-x1)=y1(y2+y1)
而y1(y2+y1)=y1y2+y1^2=-4p^2+2px1
所以,y(y2+y1)-2p(x-x1)=-4p^2+2px1
y(y2+y1)-2px+4p^2=0
y(y2+y1)-2p(x-2p)=0
所以,x=2p,y=0时,等式恒成立
直线AB经过定点(2p,0)
可设点A(2pa^2,2pa),B(2pb^2,2pb).由OA⊥OB由可知,ab=-1.(1).2pa^2*2pb^2=4p^2,2pa*2pb=-4p^2.命题得证。(2)易知,直线AB的方程为,y-2pa=(x-2pa^2)/(a+b).即x-(a+b)y-2p=0.显然,该直线过定点(2p,0).