求不等式在x+9/x-2m²+m<0在[1,5]上恒成立时的实数m的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 18:39:02
![求不等式在x+9/x-2m²+m<0在[1,5]上恒成立时的实数m的取值范围](/uploads/image/z/4338564-60-4.jpg?t=%E6%B1%82%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%E5%9C%A8x%2B9%2Fx-2m%26sup2%3B%2Bm%EF%BC%9C0%E5%9C%A8%5B1%2C5%5D%E4%B8%8A%E6%81%92%E6%88%90%E7%AB%8B%E6%97%B6%E7%9A%84%E5%AE%9E%E6%95%B0m%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4)
求不等式在x+9/x-2m²+m<0在[1,5]上恒成立时的实数m的取值范围
求不等式在x+9/x-2m²+m<0在[1,5]上恒成立时的实数m的取值范围
求不等式在x+9/x-2m²+m<0在[1,5]上恒成立时的实数m的取值范围
f(x)=x+9/x-2m²+m
f'(x)=1-9/x^2
在[1,5]区间,x∈[1,3)时f'(x)<0,单调减;x∈(3,5]时,f'(x)>0,单调增.
欲使在[1,5]上x+9/x-2m²+m<0,只要f(1)<0,f(5)<0即可:
f(1)=1+9/1-2m^2+m=10-2m^2+m
f(5)=1+9/5-2m^2+m=2.8-2m^2+m
f(5)<f(1),所以只需f(1)<0即可:
10-2m^2+m<0
2m^2-m-10>0
(m+2)(2m-5)>0
m<-2或m>2.5
在解答恒成立问题时,第一个最容易想到的是参数与未知数的分离;
本题就是m与x的分离
∴分离后:x+9/x<2m²-m恒成立;
只需要知道x+9/x在[1,5]上的取值范围,就可以求出2m²-m的取值范围了。
∵f(x)=x+9/x在[1,3]上减函数;在[3,5]上增函数(关于增减性可以用定义f(x1)-f(x2)来证明,或者判断导数f片x的正负...
全部展开
在解答恒成立问题时,第一个最容易想到的是参数与未知数的分离;
本题就是m与x的分离
∴分离后:x+9/x<2m²-m恒成立;
只需要知道x+9/x在[1,5]上的取值范围,就可以求出2m²-m的取值范围了。
∵f(x)=x+9/x在[1,3]上减函数;在[3,5]上增函数(关于增减性可以用定义f(x1)-f(x2)来证明,或者判断导数f片x的正负)
∴x+9/x的取值范围是:[6,10]
∴x+9/x<2m²-m恒成立;需要2m²-m>10
2m²-m-10>0
m>5/2或m<-2
收起