一元二次方程 与韦达定理有关的题已知 X1、X2 是方程 x^2-(k-2)x+(k^2+3k+5)=0 的2个实数根(其中k为实数),则 X1^2+X2^2 的最大值是______.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 22:28:01
![一元二次方程 与韦达定理有关的题已知 X1、X2 是方程 x^2-(k-2)x+(k^2+3k+5)=0 的2个实数根(其中k为实数),则 X1^2+X2^2 的最大值是______.](/uploads/image/z/5080989-21-9.jpg?t=%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B+%E4%B8%8E%E9%9F%A6%E8%BE%BE%E5%AE%9A%E7%90%86%E6%9C%89%E5%85%B3%E7%9A%84%E9%A2%98%E5%B7%B2%E7%9F%A5+X1%E3%80%81X2+%E6%98%AF%E6%96%B9%E7%A8%8B+x%5E2-%28k-2%29x%2B%28k%5E2%2B3k%2B5%29%3D0+%E7%9A%842%E4%B8%AA%E5%AE%9E%E6%95%B0%E6%A0%B9%EF%BC%88%E5%85%B6%E4%B8%ADk%E4%B8%BA%E5%AE%9E%E6%95%B0%EF%BC%89%2C%E5%88%99+X1%5E2%2BX2%5E2+%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E6%98%AF______.)
一元二次方程 与韦达定理有关的题已知 X1、X2 是方程 x^2-(k-2)x+(k^2+3k+5)=0 的2个实数根(其中k为实数),则 X1^2+X2^2 的最大值是______.
一元二次方程 与韦达定理有关的题
已知 X1、X2 是方程 x^2-(k-2)x+(k^2+3k+5)=0 的2个实数根(其中k为实数),则 X1^2+X2^2 的最大值是______.
一元二次方程 与韦达定理有关的题已知 X1、X2 是方程 x^2-(k-2)x+(k^2+3k+5)=0 的2个实数根(其中k为实数),则 X1^2+X2^2 的最大值是______.
有2个实数根
判别式=(k-2)^2-4(k^2+3k+5)
=k^2-4k+4-4k^2-12k-20
=-3k^2-16k-16>=0
3k^2+16k+16<=0
(3k+4)(k+4)<=0
-4<=k<=-4/3
x1+x2=k-2,x1*x2=k^2+3k+5
x1^2+x2^2
=(x1+x2)^2-2x1x2
=(k-2)^2-2(k^2+3k+5)
=k^2-4k+4-2k^2-6k-10
=-k^2-10k-6
=-(k+5)^2+19
-4<=k<=-4/3
所以k=-4时,最大值=18
x1+x2=k-2
x1*x2=k^2+3k+5
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=(k-2)^2-2*(k^2+3k+5)
=-k^2-10k-6
当k=-5时
最大值为19
设M=X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1X2
=(K-2)^2-2(K^2+3k+5)
展开即是M关于k的一个一元二次函数
由判别式Δ=(k-2)^2-4(K^2+3K+5)>=0
可得K的取值范围
则定轴定区间求M的最大值(初中用图像也可以解)
我计算能力不行,麻烦你自己算
由判别式>=0 即(k-2)^2-4(k^2+3k+5)>=0 可得-4<=k<=-4/3
再有韦达定理x1+x2=k-2 x1x2=k^2+3k+5
于是有 x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=(k-2)^2-2(k^2+3k+5)=-k^2-10k-6
=-(k+5)^2+19
因为-4<=k<=-4/3易得当k=-4时有最大值
全部展开
由判别式>=0 即(k-2)^2-4(k^2+3k+5)>=0 可得-4<=k<=-4/3
再有韦达定理x1+x2=k-2 x1x2=k^2+3k+5
于是有 x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=(k-2)^2-2(k^2+3k+5)=-k^2-10k-6
=-(k+5)^2+19
因为-4<=k<=-4/3易得当k=-4时有最大值
所以最大值是18
(千万别算成19了,那是没有考虑判别式所造成的错误)
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