一个凸多边形的内角度数成等差数列,它的公差是5°,最小角是120°,则此多边形的边数是?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 15:37:25
![一个凸多边形的内角度数成等差数列,它的公差是5°,最小角是120°,则此多边形的边数是?](/uploads/image/z/5207389-61-9.jpg?t=%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%87%B8%E5%A4%9A%E8%BE%B9%E5%BD%A2%E7%9A%84%E5%86%85%E8%A7%92%E5%BA%A6%E6%95%B0%E6%88%90%E7%AD%89%E5%B7%AE%E6%95%B0%E5%88%97%2C%E5%AE%83%E7%9A%84%E5%85%AC%E5%B7%AE%E6%98%AF5%C2%B0%2C%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%A7%92%E6%98%AF120%C2%B0%2C%E5%88%99%E6%AD%A4%E5%A4%9A%E8%BE%B9%E5%BD%A2%E7%9A%84%E8%BE%B9%E6%95%B0%E6%98%AF%3F)
一个凸多边形的内角度数成等差数列,它的公差是5°,最小角是120°,则此多边形的边数是?
一个凸多边形的内角度数成等差数列,它的公差是5°,最小角是120°,则此多边形的边数是?
一个凸多边形的内角度数成等差数列,它的公差是5°,最小角是120°,则此多边形的边数是?
设为x
则最大角是120+5(x-1)=5x+115度
所以内角和=(120+5x+115)x/2=(x-2)*180
5x²+235x=360x-720
5x²-125x+720=0
x²-25x+144=0
x=9,x=16
凸多边形则5x+115
设此多边形的边数是N,有
180*(N-2)=120*N+5*N*(N-1)/2
N*N-25N+144=0
N=9或N=16
当N=16时,120+5*(N-1)=195度>180度,不符合要求。
多边形的边数是9
要了解多边形的内角和求和公式=(N-2)*180°
设这个多边形是n
a1=120° d=5°
Sn=na1+n(n-1)d/2=(n-2)*180°
240n+5n^2-5n=360n-720
(n-9)(n-16)=0
n=6 或n=9
设为n
则内角和为[120+120+5(n-1)]n/2=(n-2)*180
解得n=9
故……
令边数为N n>3,整数
该数列an=120+(n-1)*5=115+5n,满足an<180(凸多边形)
**即n<13
内角和 (n-2)*180 ①
数列前n项和公式的内角和 120*n+(n-1)n*5 /2 ②
①=②
(n-2)*180=120*n+(n-1)n*5/2
得n=9或16(舍去n<13)
∴边数为9