函数f(x)=x^2-ax-a^2,g(x)=ax-2,若x∈[0,1]时,函数f(x)的图像恒在g(x)图像的上方,求实数a的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 14:32:27
![函数f(x)=x^2-ax-a^2,g(x)=ax-2,若x∈[0,1]时,函数f(x)的图像恒在g(x)图像的上方,求实数a的取值范围](/uploads/image/z/5929002-18-2.jpg?t=%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dx%5E2-ax-a%5E2%2Cg%28x%29%3Dax-2%2C%E8%8B%A5x%E2%88%88%5B0%2C1%5D%E6%97%B6%2C%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E7%9A%84%E5%9B%BE%E5%83%8F%E6%81%92%E5%9C%A8g%28x%29%E5%9B%BE%E5%83%8F%E7%9A%84%E4%B8%8A%E6%96%B9%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0a%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4)
函数f(x)=x^2-ax-a^2,g(x)=ax-2,若x∈[0,1]时,函数f(x)的图像恒在g(x)图像的上方,求实数a的取值范围
函数f(x)=x^2-ax-a^2,g(x)=ax-2,若x∈[0,1]时,函数f(x)的图像恒在g(x)图像的上方,求实数a的取值范围
函数f(x)=x^2-ax-a^2,g(x)=ax-2,若x∈[0,1]时,函数f(x)的图像恒在g(x)图像的上方,求实数a的取值范围
f(x)=x^2-ax-a^2,g(x)=ax-2,
若x∈[0,1]时,函数f(x)的图像恒在g(x)图像的上方
即h(x)=f(x)-g(x)>0,对x∈[0,1]恒成立
需h(x)(min)>0即可
h(x)= x^2-ax-a^2-ax+2
=x^2-2ax-a^2+2
=(x-a)^2+2-2a2
当a≤0时,h(x)(min)=f(0)=-a^2+2>0
-√2
a≤1
x∈[0,1]时x^2-ax-a^2>ax-2恒成立
x∈[0,1]时f(x)的图像恒在g(x)图像的上方,即当x∈[0,1]时,f(x)-g(x)恒>0
令h(x)=f(x)-g(x)
h(x)=f(x)-g(x)=x²-ax-a²-(ax-2)=x²-2ax-a²+2=(x-a)²+2-2a²,对称轴x=a
分类讨论:
(1)
当a≥1时...
全部展开
x∈[0,1]时f(x)的图像恒在g(x)图像的上方,即当x∈[0,1]时,f(x)-g(x)恒>0
令h(x)=f(x)-g(x)
h(x)=f(x)-g(x)=x²-ax-a²-(ax-2)=x²-2ax-a²+2=(x-a)²+2-2a²,对称轴x=a
分类讨论:
(1)
当a≥1时,h(x)单调递减,当x=1时取得最小值,即x=1时,h(x)>0
h(x)=(a-1)²+2-2a²=-a²-2a+3=-(a+3)(a-1)>0
(a+3)(a-1)<0 -3(2)
当a≤0时,h(x)单调递增,当x=0时取得最小值,即x=0时,h(x)>0
h(x)=2-a²>0
a²-2<0 -√2得-√2(3)
当00
2-2a²>0
a²-1<0
-1可得0综上,得-√2a的取值范围为(-√2,1)
收起
设F(x)=f(x)-g(x)=x^2-2ax-a^2+2>=0在x∈[0,1]时恒成立。
判别式=4a^2+4a^2-8=8(a^2-1)
当a^2<1,-1当a^2>1时,对称轴为x=a。
1)若a<0,此时a<=-1,则F(0)=-a^2+2>0,F(1)=1-2a-a^2+2>0。-√22)若a>1,此时F(...
全部展开
设F(x)=f(x)-g(x)=x^2-2ax-a^2+2>=0在x∈[0,1]时恒成立。
判别式=4a^2+4a^2-8=8(a^2-1)
当a^2<1,-1当a^2>1时,对称轴为x=a。
1)若a<0,此时a<=-1,则F(0)=-a^2+2>0,F(1)=1-2a-a^2+2>0。-√22)若a>1,此时F(0)=-a^2+2>0,F(1)=1-2a-a^2+2>0,空集。
综上所述,实数a的取值范围是(-√2,1)
收起
由已知得,当 x∈[0,1] 时,x^2-ax-a^2>ax-2 恒成立,
所以 x^2-2ax-a^2+2>0 在 x∈[0,1] 时恒成立。
由于抛物线 F(x)=x^2-2ax-a^2+2 开口向上,对称轴x=a,
所以 1)若a<0,则 F(x) 在[0,1]上为增函数,只须 F(0)=-a^2+2>0 ,解得 -√22)若 a>1 ,则 F(x...
全部展开
由已知得,当 x∈[0,1] 时,x^2-ax-a^2>ax-2 恒成立,
所以 x^2-2ax-a^2+2>0 在 x∈[0,1] 时恒成立。
由于抛物线 F(x)=x^2-2ax-a^2+2 开口向上,对称轴x=a,
所以 1)若a<0,则 F(x) 在[0,1]上为增函数,只须 F(0)=-a^2+2>0 ,解得 -√22)若 a>1 ,则 F(x) 在[0,1]上为减函数,只须 F(1)=1-2a-a^2+2>0 ,解得 a无解;
3)若 0<=a<=1,则F(x)在[0,a]上为减函数,在[a,1]上为增函数,
所以 只须F(a)=a^2-2a^2-a^2+2>0,解得 0<=a<1 ;
取(1)(2)(3)的并集,得 a 的取值范围为:(-√2,1)。
收起