设P是正三角形ABC外接圆的劣弧BC上任意一点,求证:PB+PC=PA,PB*PC=PA^2-PB^2
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 19:49:41
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设P是正三角形ABC外接圆的劣弧BC上任意一点,求证:PB+PC=PA,PB*PC=PA^2-PB^2
设P是正三角形ABC外接圆的劣弧BC上任意一点,求证:PB+PC=PA,PB*PC=PA^2-PB^2
设P是正三角形ABC外接圆的劣弧BC上任意一点,求证:PB+PC=PA,PB*PC=PA^2-PB^2
证明:延长PC至D点,使得PA=PD,连接AD.
∵∠DPA=∠CBA=60°,∴⊿PAD是等边三角形,
∴DA=PA
∵AB=AC,PA=AD,∠BAP=∠CAB-∠PAC=∠DAP-∠PAC,
∴⊿APB≌⊿ACD∴BP=CD
∴PA=PC+CD=PC+PB,即PA=PB+PC
1、(1)延长BP,截取PM=PC,连接CM
∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°
∵圆是△ABC外接圆
∴∠CPM=∠BAC=60°
∴△CPM是等边三角形(做PM=PC)
∴PC=CM
在△APC和△BMC中
AC=BC,∠BMC=∠APC=∠ABC=60°
∠CAP=∠CBP=∠CB...
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1、(1)延长BP,截取PM=PC,连接CM
∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°
∵圆是△ABC外接圆
∴∠CPM=∠BAC=60°
∴△CPM是等边三角形(做PM=PC)
∴PC=CM
在△APC和△BMC中
AC=BC,∠BMC=∠APC=∠ABC=60°
∠CAP=∠CBP=∠CBM
∴△APC≌△BMC(AAS)
∴PA=BM=PB+PM=PB+PC
(2)、证明:在PA上截取PD=PC,
∵AB=AC=BC,
∴∠APB=∠APC=60°,
∴△PCD为等边三角形,
∴∠PCD=∠ACB=60°,CP=CD,
∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM,即∠ACD=∠BCP,
在△ACD和△BCP中,
AC=BC∠ACD=∠BCPCP=CD,
∴△ACD≌△BCP,
∴AD=PB,
∴PA=PB+PC;
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