将2008个白球与2009个黑球排成一列,如何证明:至少有一个黑球,其左侧的白球与黑球数相等?(不包括自己)可以为0
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 19:30:56
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将2008个白球与2009个黑球排成一列,如何证明:至少有一个黑球,其左侧的白球与黑球数相等?(不包括自己)可以为0
将2008个白球与2009个黑球排成一列,如何证明:至少有一个黑球,其左侧的白球与黑球数相等?(不包括自己)
可以为0
将2008个白球与2009个黑球排成一列,如何证明:至少有一个黑球,其左侧的白球与黑球数相等?(不包括自己)可以为0
①若第一个是黑球,则命题显然成立.
②若第一个是白球.将球从左到右编号为1,2,3...4017.
假设命题不真,则第一个球不是黑球,而第一个出现的黑球k左侧,白球个数多于黑球(这是显然的).
下面先证引理:不存在黑球,它的左边白球的个数少于黑球.否则,假设编号最小的黑球i左边白球的个数少于黑球,并设它左边第一个黑球(它是肯定存在的,因其左侧有一球k,它左侧白球个数多余黑球)的编号为j,(显然i>j).因为球i的左侧白球的个数少于黑球,而若i,j之间无白球则j的左侧白球的个数与黑球个数相等与假设矛盾.所以i,j之间必存在至少一个白球,这样j的左侧白球的个数会比i左侧减少至少1个,而黑球仅减少1个,于是,j的左侧白球的个数少于黑球,而j
看来数学归纳法被别人抢了,我就来个简单点的(就是有点抽象),呵呵。
用染色问题的常用方法——赋值法
将2008个白球都标记上-1,再将2009个黑球都标记上1
现在要证“至少有一个黑球,其左侧的白球与黑球数相等”
显然要证“左侧的白球与黑球数相等”,那么这个黑球的右侧白球与黑球数也相等
即这个黑球的左右两边代数和都要为0
又因为所有4017个球的代数...
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看来数学归纳法被别人抢了,我就来个简单点的(就是有点抽象),呵呵。
用染色问题的常用方法——赋值法
将2008个白球都标记上-1,再将2009个黑球都标记上1
现在要证“至少有一个黑球,其左侧的白球与黑球数相等”
显然要证“左侧的白球与黑球数相等”,那么这个黑球的右侧白球与黑球数也相等
即这个黑球的左右两边代数和都要为0
又因为所有4017个球的代数和为1
那么必然存在一个“1“的左右两边都是0
命题得证。
以上命题已证,现在我们来找到这个黑球。
从左边开始,
(1)若第一个球是黑球,那么,已经得证。
(2)若第一个球是白球,那么,再从左边起找到第一个出现的黑球(这个黑球显然不是我们要找的黑球)。因为这两个球的代数和为0,所以将这两个球删去,这样不影响所找黑球两边的代数和。
(3)这样2008个白球与2009个黑球,只剩2007个白球,2008个黑球。接着重复步骤(1),,(2)因为黑球多一个,所以必然存在这样一个黑球会出现在左一位置上,这个黑球就是所找黑球。
这道题还可以用第一数学归纳法和第二数学归纳法等等很多方法。
新年快乐!!!
收起
设第个i黑球左侧有x(i)个白球
用反证法
则x(1)>0,
x(2)>=x(1) x(2)!=1 则x(2)>1
x(3)>=x(2) x(3)!=2 则x(3)>2
.
.
则可推出x(2009)>2008 矛盾
白球与黑球的具体个数不是重点,只要黑球比白球多,命题就成立。