开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发,拟在该地段的一角建设一个景观,需要建一条道路EF(点E、F分别在BC、CD上),根据规划要求△ECF的周长为2km.(1)求角EAF大小(2)欲使三
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 14:31:52
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开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发,拟在该地段的一角建设一个景观,需要建一条道路EF(点E、F分别在BC、CD上),根据规划要求△ECF的周长为2km.(1)求角EAF大小(2)欲使三
开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发,拟在该地段的一角建设一个景观,需要建一条道路EF
(点E、F分别在BC、CD上),根据规划要求△ECF的周长为2km.
(1)求角EAF大小
(2)欲使三角形EAF面积最小,试确定E、F的位置
开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发,拟在该地段的一角建设一个景观,需要建一条道路EF(点E、F分别在BC、CD上),根据规划要求△ECF的周长为2km.(1)求角EAF大小(2)欲使三
(1)设CE=x,CF=y(0<x≤1,0<y≤1),∠BAE=α,∠DAF=β
则tanα=(1-x)/1=(1-x),tanβ=(1-y)/1=(1-y)
由已知得:S△ECF=x+y+ √(x²+y²) =2,
即2(x+y)-xy=2 -xy=2-2(x+y)
∴tan(α+β)=(tanα+tanβ) /(1-tanαtanβ) =[2-(x+y)]/( x+y-xy) =[2-(x+y0]/[(x+y)+2-2(x+y)]=1
∵0<α+β<π 2 ,
∴α+β=π /4
∴∠EAF=90°-45°=45°
(2)由(1)知,S△EAF=1 /2 AE×AF×sin∠EAF
= √2/4 AE×AF
=√2/4 ×(1/ cosαcosβ)
=√2/4 ×(1 /cosαcos(π/ 4 -α)
=1/( sin2α+2cos²α)
=1/ (√2sin(2α+π/4 )+1 )
∵0<α<π/4 ,
∴2α+π/4 =π/2 ,即α=π/ 8 时,△EAF的面积最小,最小面积为 √2 -1.
∵tanπ/4 =(2tanπ/8)/( 1-tan²π/8) ,
∴tanπ/8 =√ 2 -1,故此时BE=DF= √2 -1.
所以,当BE=DF=√ 2 -1时,△EAF的面积最小.