有关椭圆的1题.1等腰三角形ABC的底边BC是椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点,且AB的中点D在椭圆E上,设椭圆离心率为e,求cos∠ABC的值(结果用e表示)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 18:54:04
![有关椭圆的1题.1等腰三角形ABC的底边BC是椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点,且AB的中点D在椭圆E上,设椭圆离心率为e,求cos∠ABC的值(结果用e表示)](/uploads/image/z/9479174-14-4.jpg?t=%E6%9C%89%E5%85%B3%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%841%E9%A2%98.1%E7%AD%89%E8%85%B0%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E7%9A%84%E5%BA%95%E8%BE%B9BC%E6%98%AF%E6%A4%AD%E5%9C%86E%EF%BC%9Ax%5E2%2Fa%5E2%2By%5E2%2Fb%5E2%3D1%28a%3Eb%3E0%29%E7%9A%84%E4%B8%A4%E7%84%A6%E7%82%B9%2C%E4%B8%94AB%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9D%E5%9C%A8%E6%A4%AD%E5%9C%86E%E4%B8%8A%2C%E8%AE%BE%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%A6%BB%E5%BF%83%E7%8E%87%E4%B8%BAe%2C%E6%B1%82cos%E2%88%A0ABC%E7%9A%84%E5%80%BC%28%E7%BB%93%E6%9E%9C%E7%94%A8e%E8%A1%A8%E7%A4%BA%29)
有关椭圆的1题.1等腰三角形ABC的底边BC是椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点,且AB的中点D在椭圆E上,设椭圆离心率为e,求cos∠ABC的值(结果用e表示)
有关椭圆的1题.1
等腰三角形ABC的底边BC是椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点,且AB的中点D在椭圆E上,设椭圆离心率为e,求cos∠ABC的值(结果用e表示)
有关椭圆的1题.1等腰三角形ABC的底边BC是椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点,且AB的中点D在椭圆E上,设椭圆离心率为e,求cos∠ABC的值(结果用e表示)
设B是椭圆E的左焦点,则有B(-c,0)(c^=a^-b^,且c>0)
而C则是椭圆E的右焦点,根据椭圆的对称性,可知BC的中垂线就是y轴
连接OD
根据题意,等腰△ABC中,底边时BC,则A是顶点,根据等腰三角形性质,可知A必在底边BC的中垂线上,由此可知,A点必在y轴上!∴其横坐标xA=0
设D(m,n),D为AB中点,根据中点公式,易得:
m=(xB+xA)/2=(-c+0)/2=-c/2 ①
∠AOB=90°,D为AB中点,可知OD=BD
于是可得:∠DOB=∠ABC
取OB中点E,连接DE,易证DE⊥OB
且|OE|=|OB|/2=c/2 ②
cos∠ABC=cos∠DOB=|OE|/|OD| ③
D在椭圆E上,将D(m,n)代入椭圆x^/a^+y^/b^=1中,化简可得:
n^=b^-(b^/a^)*m^
m^+n^=b^-(b^/a^)*m^+m^=[(a^-b^)/a^]*m^+b^=(c^/a^)m^+(a^-c^)
将e=c/a,c=ae,以及①代入,得:
m^+n^=e^*(-c/2)^+(a^-a^e^)=e^c^/4 +a^-a^e^=e^*(a^e^)/4 +a^-a^e^
=(a^/4)*[e^4 -4e^+4]
=(a/2)^ * (2-e^)^
根据坐标的几何含义,可知:
|OD|=√(m^+n^)=(a/2)*(2-e^) ④
由③式:
cos∠ABC=|OE|/|OD|
代入②,④,可得:
cos∠ABC=(c/2)/[(a/2)*(2-e^)]
=(c/a)/(2-e^)
=e/(2-e^)