证明多元函数X^4*Y^2+Y^4*X^2+Z^4*X^2-3*X^2*Y^2*Z^2对所有XYZ非负
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 20:05:00
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证明多元函数X^4*Y^2+Y^4*X^2+Z^4*X^2-3*X^2*Y^2*Z^2对所有XYZ非负
证明多元函数X^4*Y^2+Y^4*X^2+Z^4*X^2-3*X^2*Y^2*Z^2对所有XYZ非负
证明多元函数X^4*Y^2+Y^4*X^2+Z^4*X^2-3*X^2*Y^2*Z^2对所有XYZ非负
x^2>=0,y^2>=0,z^2>=0
用均值不等式 (a+b+c)/3>=3次根号abc
x^4y^2+y4^x^2+z^4x^2>=3 (x^4y^2*y4^x^2*z^4x^2)^(1/3)=3x^2y^2z^2
所以有 x^4y^2+y4^x^2+z^4x^2-3x^2y^2z^2>=0
即x^4y^2+y4^x^2+z^4x^2-3x^2y^2z^2用所有xyz非负
X^4*Y^2+Y^4*X^2+Z^4*X^2-3*X^2*Y^2*Z^2
=X^4*Y^2-X^2*Y^2*Z^2+Y^4*X^2-X^2*Y^2*Z^2+Z^4*X^2-X^2*Y^2*Z^2(把最后那个化为三项)
=X^2*Y^2(X^2-Z^2)+Y^2*X^2(Y^2-Z^2)+Z^2*X^2(Z^2-Y^2)(提取公因式)
=X^2*Y^2(X^2-Z^2)-Y...
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X^4*Y^2+Y^4*X^2+Z^4*X^2-3*X^2*Y^2*Z^2
=X^4*Y^2-X^2*Y^2*Z^2+Y^4*X^2-X^2*Y^2*Z^2+Z^4*X^2-X^2*Y^2*Z^2(把最后那个化为三项)
=X^2*Y^2(X^2-Z^2)+Y^2*X^2(Y^2-Z^2)+Z^2*X^2(Z^2-Y^2)(提取公因式)
=X^2*Y^2(X^2-Z^2)-Y^2*X^2(Z^2-Y^2)+Z^2*X^2(Z^2-Y^2)
=X^2*Y^2(X^2-Z^2)+X^2(Z^2-Y^2)(Z^2-Y^2)(后两项提取公因式)
所以无法表示为多项式乘积的形式。
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