如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连结PG、PC,若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG与PC的位置关系及比值.小聪同学的思路是:延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 02:25:02
![如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连结PG、PC,若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG与PC的位置关系及比值.小聪同学的思路是:延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理](/uploads/image/z/4535888-32-8.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE1%2C%E5%9C%A8%E8%8F%B1%E5%BD%A2ABCD%E5%92%8C%E8%8F%B1%E5%BD%A2BEFG%E4%B8%AD%2C%E7%82%B9A%E3%80%81B%E3%80%81E%E5%9C%A8%E5%90%8C%E4%B8%80%E6%9D%A1%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E4%B8%8A%2CP%E6%98%AF%E7%BA%BF%E6%AE%B5DF%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2C%E8%BF%9E%E7%BB%93PG%E3%80%81PC%2C%E8%8B%A5%E2%88%A0ABC%3D%E2%88%A0BEF%3D60%C2%B0%2C%E6%8E%A2%E7%A9%B6PG%E4%B8%8EPC%E7%9A%84%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E5%85%B3%E7%B3%BB%E5%8F%8A%E6%AF%94%E5%80%BC.%E5%B0%8F%E8%81%AA%E5%90%8C%E5%AD%A6%E7%9A%84%E6%80%9D%E8%B7%AF%E6%98%AF%EF%BC%9A%E5%BB%B6%E9%95%BFGP%E4%BA%A4DC%E4%BA%8E%E7%82%B9H%2C%E6%9E%84%E9%80%A0%E5%85%A8%E7%AD%89%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%2C%E7%BB%8F%E8%BF%87%E6%8E%A8%E7%90%86)
如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连结PG、PC,若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG与PC的位置关系及比值.小聪同学的思路是:延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理
如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连结PG、PC,若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG与PC的位置关系及比值.
小聪同学的思路是:延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.
请你参考小聪同学的思想,探究并解决下列问题:
如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连结PG、PC,若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG与PC的位置关系及比值.小聪同学的思路是:延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理
垂直,√3
按照小聪的思路作完图之后,GF平行于AB平行于CD,P又是中点,角HDP=角GFP,角HPD=角GPE,P为中点,所以三角形HDP全等于三角形GFP,这样DH=GF,所以CH=CG,则有等腰三角形CHG,有P为HG中点,所以PC⊥PG,因为菱形ABCD角ABC=60度所以角DCB=120度 CP为角平分线,角PCG=60度PG:PC=√3
1.垂直,√3
按照小聪的思路作完图之后,GF平行于AB平行于CD,P又是中点,角HDP=角GFP,角HPD=角GPE,P为中点,所以三角形HDP全等于三角形GFP,这样DH=GF,所以CH=CG,则有等腰三角形CHG,有P为HG中点,所以PC⊥PG,因为菱形ABCD角ABC=60度所以角DCB=120度 CP为角平分线,角PCG=60度PG:PC=√3
2.
应该还...
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1.垂直,√3
按照小聪的思路作完图之后,GF平行于AB平行于CD,P又是中点,角HDP=角GFP,角HPD=角GPE,P为中点,所以三角形HDP全等于三角形GFP,这样DH=GF,所以CH=CG,则有等腰三角形CHG,有P为HG中点,所以PC⊥PG,因为菱形ABCD角ABC=60度所以角DCB=120度 CP为角平分线,角PCG=60度PG:PC=√3
2.
应该还有二问:
(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,其他条件不变(如图2)。你在(1)中得到的结论是否会发生变化?写出你的猜想并加以证明。
(3)若图1中∠ABC=∠BEF=2a(0<a<90°),将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出PG:PC的值(用含a的式子来表示),
(2) 结论不变。延长CP交AB于M,连CG,MG。因为P是DF重点,所以DC=MF,CP=MP。有MF=CD=BC。考虑三角形CGB与三角形MGF,有BC=MF,∠CBG=∠MFG=60°,BG=GF,因此两三角形全等。从而CG=MG,∠CGB=∠MGF。因为∠CGB=∠CGM+∠GMB=∠MGF=∠FGB+∠BGM,因此∠CGM=∠FGB=60°,又有CG=GM,所以三角形CGM是等边三角形,且P是CM中点,从而原结论在此也成立。
(3) 延长CP至M,使PM=PC,连MF交BG于N。易知CD‖MF‖AB。与上小问类似,可知MF=DC=BC,FG=BG。因为MF‖AB,有∠ABG=∠MNG,而∠ABG=∠ABC+∠CBG,∠MNG=∠BGF+∠GFM。因为∠ABC=∠BEF=∠BGF,所以∠CBG=∠MFG。又有BG=FG,MF=BC,所以三角形CBG与三角形MFG全等。因此与上小问类似,有CG=MG,∠CGM=∠FGB=2a。因此∠CGP=a且PG⊥PC,因此PG:PC=cot(a).
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