△AFG中,AF=AG,∠FAG=108°,点C、D在FG上,且CF=CA,DG=DA,过点A,C,D的○O分别交AF,AG于点B,E.求证:五边形ABCDE是正五边形
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 00:01:02
![△AFG中,AF=AG,∠FAG=108°,点C、D在FG上,且CF=CA,DG=DA,过点A,C,D的○O分别交AF,AG于点B,E.求证:五边形ABCDE是正五边形](/uploads/image/z/5031662-14-2.jpg?t=%E2%96%B3AFG%E4%B8%AD%2CAF%3DAG%2C%E2%88%A0FAG%3D108%C2%B0%2C%E7%82%B9C%E3%80%81D%E5%9C%A8FG%E4%B8%8A%2C%E4%B8%94CF%3DCA%2CDG%3DDA%2C%E8%BF%87%E7%82%B9A%2CC%2CD%E7%9A%84%E2%97%8BO%E5%88%86%E5%88%AB%E4%BA%A4AF%2CAG%E4%BA%8E%E7%82%B9B%2CE.%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E4%BA%94%E8%BE%B9%E5%BD%A2ABCDE%E6%98%AF%E6%AD%A3%E4%BA%94%E8%BE%B9%E5%BD%A2)
△AFG中,AF=AG,∠FAG=108°,点C、D在FG上,且CF=CA,DG=DA,过点A,C,D的○O分别交AF,AG于点B,E.求证:五边形ABCDE是正五边形
△AFG中,AF=AG,∠FAG=108°,点C、D在FG上,且CF=CA,DG=DA,过点A,C,D的○O分别交AF,AG于点B,E.求证:五边形ABCDE是正五边形
△AFG中,AF=AG,∠FAG=108°,点C、D在FG上,且CF=CA,DG=DA,过点A,C,D的○O分别交AF,AG于点B,E.求证:五边形ABCDE是正五边形
如图:因为是等腰三角形,所以圆心0在高AH上,且因为对称,只要证明∠ABC=∠BCD=108°即可.
因为AF=AG ∠FAG=108° 且AH为等腰△AFG的高
所以∠FAH=∠GAH=54°
∠AFH=∠AGH=36°
因为圆o为△ACD外接圆,且交AF、AG于B、E
所以OA=OB=OC=圆半径
所以∠ABO=∠FAH=54°
∠AOB=180°-∠ABO-∠FAH=72°
因为CF=CA
所以∠FAC=∠FAH=36°
所以∠CAH=∠FAH-∠FAC=18°
∠ACH=∠ADH=90°-∠CAH=72°
因为OA=OC
所以∠COH=∠CAH+∠ACO=36°
所以∠BOC=180°-∠AOB-∠COH=180°-72°-36°=72°
因为OB=OC
所以∠OBC=∠OCB=(180°-∠BOC)/2=54°
所以∠ABC=∠ABO+∠OBC=54°+54°=108°
∠BCA=180°-∠ABC-∠FAC=180°-108°-36°=36°
∠BCD=∠BCA+∠ACH=36°+72°=108°
同样可证∠AED=∠EDH=108°
五边形ABCDE五个内角各为108°
所以五边形ABCDE是正五边形