分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE,已知∠BAC=30度,EF⊥AB垂足为E,连接DF求证:四边形ADEF是平行四边形
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 15:38:05
![分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE,已知∠BAC=30度,EF⊥AB垂足为E,连接DF求证:四边形ADEF是平行四边形](/uploads/image/z/3576913-25-3.jpg?t=%E5%88%86%E5%88%AB%E4%BB%A5Rt%E2%96%B3ABC%E7%9A%84%E7%9B%B4%E8%A7%92%E8%BE%B9AC%E5%8F%8A%E6%96%9C%E8%BE%B9AB%E5%90%91%E5%A4%96%E4%BD%9C%E7%AD%89%E8%BE%B9%E2%96%B3ACD%2C%E7%AD%89%E8%BE%B9%E2%96%B3ABE%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E2%88%A0BAC%3D30%E5%BA%A6%2CEF%E2%8A%A5AB%E5%9E%82%E8%B6%B3%E4%B8%BAE%2C%E8%BF%9E%E6%8E%A5DF%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ADEF%E6%98%AF%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2)
分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE,已知∠BAC=30度,EF⊥AB垂足为E,连接DF求证:四边形ADEF是平行四边形
分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE,已知∠BAC=30度,EF⊥AB垂足为E,连接DF
求证:四边形ADEF是平行四边形
分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE,已知∠BAC=30度,EF⊥AB垂足为E,连接DF求证:四边形ADEF是平行四边形
因为△ADC为等边三角形,于是∠CAD=60°,AD=AC
于是∠DAF=∠CAD+∠BAC=60+30=90°,EF=AC=AD
∠AFE=∠DAF=90°,内错角相等
于是AD//EF,又因为EF=AD
于是四边形ADFE是平行四边形
证明:在Rt△ABC,∠BAC=30°,
∴∠ABC=60°,
等边△ABE中,∠ABE=60°,且AB=BE,
∵EF⊥AB,
∴∠EFB=90°,
∴Rt△ABC≌Rt△EBF,
∴AC=EF,
又在等边△ACD中,∠DAC=60°,AD=AC,
又∵∠BAC=30°,
∴∠DAF=90°,
∴AD∥EF,
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证明:在Rt△ABC,∠BAC=30°,
∴∠ABC=60°,
等边△ABE中,∠ABE=60°,且AB=BE,
∵EF⊥AB,
∴∠EFB=90°,
∴Rt△ABC≌Rt△EBF,
∴AC=EF,
又在等边△ACD中,∠DAC=60°,AD=AC,
又∵∠BAC=30°,
∴∠DAF=90°,
∴AD∥EF,
又∵AC=EF,∴AD=EF,
∴四边形ADFE是平行四边形.
收起
证明:(1)∵Rt△ABC中,∠BAC=30°, ∴AB=2BC, 又∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB, ∴∠AEF=30° ∴AE=2AF,且AB=2AF, ∴AF=CB, 而∠ACB=∠AFE=90°, 在Rt△AFE和Rt△BCA中, , ∴△AFE≌△BCA(HL), ∴AC=EF; (2)由(1)知道AC=EF, 而△ACD是等边三角形, ∴∠DAC=60° ∴EF=AC=AD,且AD⊥AB, 而EF⊥AB, ∴EF∥AD, ∴四边形ADFE是平行四边形.