是否存在常数c,使得不等式(x/2x+y)+(y/x+2y)《c《(x/x+2y)+(y/2x+y),对任意正实数x,y恒成立?证明你的结论
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 00:01:46
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是否存在常数c,使得不等式(x/2x+y)+(y/x+2y)《c《(x/x+2y)+(y/2x+y),对任意正实数x,y恒成立?证明你的结论
是否存在常数c,使得不等式(x/2x+y)+(y/x+2y)《c《(x/x+2y)+(y/2x+y),对任意正实数x,y恒成立?证明你的结论
是否存在常数c,使得不等式(x/2x+y)+(y/x+2y)《c《(x/x+2y)+(y/2x+y),对任意正实数x,y恒成立?证明你的结论
可以赋值得到C=2/3然后证明
如果不赋值也可以得到C=2/3
(x/2x+y)+(y/x+2y)
=(x²+4xy+y²)/(2x²+5xy+2y²)
=[(x²+5xy/2+y²)+3xy/2]/(2x²+5xy+2y²)
=1/2+3xy/(4x²+10xy+4y²)
=1/2+3/[4(x/y+y/x)+10]
≤1/2+3/(4×2+10)=2/3
同样可以得到:
(x/x+2y)+(y/2x+y)
=(2x²+2xy+2y²)/(2x²+5xy+2y²)
=[(2x²+5xy+2y²)-3xy]/(2x²+5xy+2y²)
=1-3xy/(2x²+5xy+2y²)
=1-3/[2(x/y+y/x)+5]
≥1-3/(2×2+5)=2/3
所以C=2/3时成立
如果赋值后得到C=2/3要证明(x/2x+y)+(y/x+2y)≤2/3
其实通分后得3(x²+4xy+y²)≤2(2x²+5xy+2y²)
整理得x²+y²≥2xy这显然成立
证明(x/x+2y)+(y/2x+y)≥2/3
通分后3(2x²+2xy+2y²)≥2(2x²+5xy+2y²)
整理后得x²+y²≥2xy这显然成立
令X=Y=1 所以有C=2/3
然后再用作差法证明就可以了
这是某年的高考题但是具体是哪里的想不起了
你翻资料一般都有这道题自己看看详解吧。